Exercice 2, § 4

Soit $A = (\alpha_{mn})_{(m,n) \in \mathbf{N} \times \mathbf{N}}$ une suite double de nombres complexes, qu’on appelle aussi matrice infinie. Pour tout point $x = (x_n)$ de l’espace somme directe $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$, les sommes $y_m = \sum_n \alpha_{mn} x_n$ sont définies, et on note $A.x$ le point $(y_m)$ de l’espace produit $\mathbf{C}^\mathbf{N}$, de sorte que $x \mapsto A.x$ est une application linéaire de $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ dans $\mathbf{C}^\mathbf{N}$, et toute application linéaire de $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ dans $\mathbf{C}^\mathbf{N}$ est de cette forme. On note $E_n$ le sous-espace de $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ engendré par les $n$ premiers vecteurs de la base canonique, $P_n$ la projection canonique de $\mathbf{C}^\mathbf{N}$ sur $E_n$; lorsqu’on munit $E_n$ de la norme induite par celle de l’espace $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$, on note $\|u\|$ la norme d’une application linéaire $u$ de l’espace hilbertien de dimension finie $E_n$ dans lui-même. a) Pour que l’image de $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ par l’application $x \mapsto A.x$ soit contenue dans $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ et que cette application se prolonge en une application linéaire continue de $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ dans lui-même, il faut et il suffit que les normes $\|P_n A P_n\|$ soient bornées. Cela implique que les lignes et les colonnes de $A$ appartiennent à $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ (exerc. 1). b) On désigne par $A^*$ la matrice infinie $(\alpha'_{mn})$, où $\alpha'_{mn} = \overline{\alpha}_{nm}$. Si les colonnes de $A$ appartiennent à $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ (autrement dit, si $x \mapsto A.x$ applique $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ dans $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$), les séries $\beta_{mn} = \sum_p \overline{\alpha}_{pm} \alpha_{pn}$ sont absolument convergentes, et on pose $A^*A = (\beta_{mn})$. Montrer que pour que $x \mapsto A.x$ se prolonge en une application linéaire continue $u$ de $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ dans lui-même, il faut et il suffit que les normes $\|P_n(A^*A)P_n\|$ soient bornées (on a $\langle P_n(A^*A)P_n.x|x \rangle = \|AP_n.x\|^2$ pour tout $x \in E_n$). Alors $x \mapsto A^*A.x$ se prolonge en l’application hermitienne positive $u^*u$ de $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ dans lui-même. c) Pour deux matrices infinies $X = (\xi_{mn})$, $Y = (\eta_{mn})$, on dit que le produit $XY$ est défini si les séries $\zeta_{mn} = \sum_p \xi_{mp} \eta_{pn}$ sont absolument convergentes, et on pose alors $XY = (\zeta_{mn})$. On dit qu’une puissance $X^k$ ($k$ entier > 1) est définie si $X^{k-1}$ et $X^{k-1}X$ sont définies et on pose alors $X^k = X^{k-1}X$; on a dans ce cas $X^p X^q = X^k$ pour tout couple d’entiers $p, q$ tels que $p + q = k$. Si $A$ est une matrice infinie dont les colonnes sont dans $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ et si le produit $(A^*A)^2$ est défini, montrer que pour tout $x \in E_n$, on a $\langle (P_n A^*A P_n)^2.x|x \rangle \leq \langle P_n (A^*A)^2 P_n.x|x \rangle$, et en déduire que l’on a $\|P_n A^*A P_n\|^2 \leq \|P_n (A^*A)^2 P_n\|$. d) Pour qu’une matrice infinie $A$ soit telle que l’image de $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ par $x \mapsto A.x$ soit contenue dans $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ et que $x \mapsto A.x$ se prolonge en une application linéaire continue de $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ dans lui-même, il faut et il suffit que les trois conditions suivantes soient vérifiées : (i) les lignes et les colonnes de $A$ sont dans $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$; (ii) les puissances $(A^*A)^k$ sont définies pour tout entier $k > 1$; (iii) on a

où $(A^*A)_{mn}^n$ désigne le terme d’indices $(m, m)$ de la matrice $(A^*A)^n$. (Observer que si $C$ est la matrice par rapport à la base canonique de $E_n$ d’un endomorphisme hermitien positif de $E_n$, on a $\|C\| \leq n \cdot \sup_{1 \leq i \leq n} |C_{ii}|$ en considérant la trace de $C$ et en diagonalisant $C$. En utilisant l’inégalité prouvée dans c), montrer que l’on a pour tout entier $k > 1$, si les conditions (i), (ii) et (iii) sont vérifiées.)