Bài tập 2, § 4

Cho $A = (\alpha_{mn})_{(m,n) \in \mathbf{N} \times \mathbf{N}}$ là một dãy kép các số phức, còn được gọi là một ma trận vô hạn. Với mỗi điểm $x = (x_n)$ của không gian tổng trực tiếp $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$, các tổng $y_m = \sum_n \alpha_{mn} x_n$ được xác định, và ta ký hiệu bởi $A.x$ điểm $(y_m)$ của không gian tích $\mathbf{C}^\mathbf{N}$, sao cho $x \mapsto A.x$ là một ánh xạ tuyến tính từ $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ vào $\mathbf{C}^\mathbf{N}$, và mọi ánh xạ tuyến tính từ $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ vào $\mathbf{C}^\mathbf{N}$ đều có dạng này. Ta ký hiệu bởi $E_n$ không gian con của $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ sinh bởi $n$ vectơ đầu tiên của cơ sở chính tắc, bởi $P_n$ phép chiếu chính tắc của $\mathbf{C}^\mathbf{N}$ lên $E_n$; khi $E_n$ được trang bị chuẩn cảm sinh bởi chuẩn của không gian $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$, ta ký hiệu bởi $\|u\|$ chuẩn của một ánh xạ tuyến tính $u$ của không gian Hilbert hữu hạn chiều $E_n$ vào chính nó. a) Để ảnh của $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ bởi ánh xạ $x \mapsto A.x$ được chứa trong $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ và ánh xạ này mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính liên tục của $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ vào chính nó, điều kiện cần và đủ là các chuẩn $\|P_n A P_n\|$ bị chặn. Điều này kéo theo rằng các hàng và các cột của $A$ thuộc $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ (bài tập 1). b) Ta ký hiệu bởi $A^*$ ma trận vô hạn $(\alpha'_{mn})$, trong đó $\alpha'_{mn} = \overline{\alpha}_{nm}$. Nếu các cột của $A$ thuộc $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ (nói cách khác, nếu $x \mapsto A.x$ ánh xạ $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ vào $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$), các chuỗi $\beta_{mn} = \sum_p \overline{\alpha}_{pm} \alpha_{pn}$ hội tụ tuyệt đối, và ta đặt $A^*A = (\beta_{mn})$. Bây giờ chứng minh rằng để $x \mapsto A.x$ mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính liên tục $u$ của $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ vào chính nó, điều kiện cần và đủ là các chuẩn $\|P_n(A^*A)P_n\|$ bị chặn (ta có $\langle P_n(A^*A)P_n.x|x \rangle = \|AP_n.x\|^2$ với mọi $x \in E_n$). Khi đó $x \mapsto A^*A.x$ mở rộng thành ánh xạ Hermit dương $u^*u$ của $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ vào chính nó. c) Với hai ma trận vô hạn $X = (\xi_{mn})$, $Y = (\eta_{mn})$, ta nói rằng tích $XY$ được xác định nếu các chuỗi $\zeta_{mn} = \sum_p \xi_{mp} \eta_{pn}$ hội tụ tuyệt đối, và khi đó ta đặt $XY = (\zeta_{mn})$. Ta nói rằng lũy thừa $X^k$ ($k$ số nguyên > 1) được xác định nếu $X^{k-1}$ và $X^{k-1}X$ được xác định và khi đó ta đặt $X^k = X^{k-1}X$; trong trường hợp này ta có $X^p X^q = X^k$ với mọi cặp số nguyên $p, q$ sao cho $p + q = k$. Nếu $A$ là một ma trận vô hạn mà các cột thuộc $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ và nếu tích $(A^*A)^2$ được xác định, bây giờ chứng minh rằng với mọi $x \in E_n$, ta có $\langle (P_n A^*A P_n)^2.x|x \rangle \leq \langle P_n (A^*A)^2 P_n.x|x \rangle$, và suy ra rằng ta có $\|P_n A^*A P_n\|^2 \leq \|P_n (A^*A)^2 P_n\|$. d) Để một ma trận vô hạn $A$ có tính chất là ảnh của $\mathbf{C}^{(\mathbf{N})}$ bởi $x \mapsto A.x$ được chứa trong $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ và $x \mapsto A.x$ mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính liên tục của $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$ vào chính nó, điều kiện cần và đủ là ba điều kiện sau được thỏa mãn: (i) các hàng và các cột của $A$ thuộc $\ell_2^\mathbf{C}(\mathbf{N})$; (ii) các lũy thừa $(A^*A)^k$ được xác định với mọi số nguyên $k > 1$; (iii) ta có

trong đó $(A^*A)_{mn}^n$ chỉ số hạng có các chỉ số $(m, m)$ của ma trận $(A^*A)^n$. (Nhận xét rằng nếu $C$ là ma trận theo cơ sở chính tắc của $E_n$ của một tự đồng cấu Hermit dương của $E_n$, ta có $\|C\| \leq n \cdot \sup_{1 \leq i \leq n} |C_{ii}|$ bằng cách xét vết của $C$ và chéo hóa $C$. Sử dụng bất đẳng thức đã chứng minh trong c), bây giờ chứng minh rằng ta có với mọi số nguyên $k > 1$