Exercice 3, § 4

Soit $(a_{ij})_{(i,j) \in I \times I}$ une famille double infinie dénombrable de nombres complexes. On suppose qu’il existe deux nombres $\beta > 0, \gamma > 0$, et une famille $(p_i)_{i \in I}$ de nombres $> 0$ satisfaisant aux relations (*)

quels que soient $i, j$ dans $I$.

a) Montrer qu’il existe un endomorphisme continu $u$ de $\ell^2_c(I)$, de norme $\leq (\beta \gamma)^{1/2}$, tel que pour tout $x = (x_i)_{i \in I}$ dans $\ell^2_c(I)$, on ait $u(x) = y$, où $y = (y_i)$ est donné par $y_i = \sum_j a_{ij} x_j$ (pour $x = (x_i)$ et $y = (y_i)$ dans $\mathbf{C}^{(I)}$, poser $v_{ij} = |x_i| (p_j |a_{ij}| / p_i)^{1/2}$, $w_{ij} = |y_j| (p_i |a_{ij}| / p_j)^{1/2}$ et majorer $\sum_{i,j} v_{ij} w_{ij}$).

b) On prend pour $I$ l’ensemble des entiers $\geq 1$ et l’on pose $a_{ij} = (i + j)^{-1}$. Montrer que les conditions () sont satisfaites avec $p_i = i^{-1/2}$ et $\beta = \gamma = \pi$ (ces constantes étant les meilleures possibles) (comparer les séries dans () à une intégrale). Traiter de manière analogue le cas où $I = \mathbf{N}$ et $a_{ij} = (i + j + 1)^{-1}$ (« matrice de Hilbert »).

\* c) Soit $\mathscr{H} = \mathbf{H}^2(D)$ l’espace de Hardy, formé des fonctions $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ holomorphes dans le disque ouvert $D : |z| < 1$ et telles que $\|f\|^2 = \sum |a_n|^2 < +\infty ; \|f\|$ est donc une norme sur $\mathscr{H}$, pour laquelle $\mathscr{H}$ est isomorphe à $\ell^2_c(\mathbf{N})$. Étant données deux fonctions $f, g$ dans $\mathscr{H}$, montrer que la fonction de variable réelle $t \mapsto f(t) g(t)$ est intégrable sur $[0, 1]$ pour la mesure de Lebesgue et que la formule $B(f, g) = \int_0^1 f(t) g(t) \, dt$ définit une forme bilinéaire continue sur $\mathscr{H} \times \mathscr{H}$ (considérer $B(f, f) = \int_0^1 f(t)^2 dt$ pour une fonction $f \in \mathscr{H}$ de la forme $f(z) = \sum_{n=0}^N a_n z^n$ avec $a_n \geq 0$ pour $0 \leq n \leq N$; utiliser le th. de Cauchy pour établir la relation

d’où $B(f, f) \leq \frac{1}{2} \int_{-\pi}^\pi |f(e^{i\theta})|^2 d\theta = \pi \|f\|^2$. Retrouver ainsi le résultat de b) selon lequel la matrice de Hilbert définit un endomorphisme de norme $\leq \pi$ de l’espace hilbertien $\ell^2_c(\mathbf{N})$. \*