Exercice 6, § 4

Soient E un espace hilbertien, M, N deux sous-espaces fermés de E, $M^{\circ}$, $N^{\circ}$ leurs supplémentaires orthogonaux respectifs ; on désigne par $p_M$, $p_N$ les orthoprojecteurs sur M et N respectivement, de sorte que $1_E - p_M$, $1_E - p_N$ sont les orthoprojecteurs sur $M^{\circ}$ et $N^{\circ}$ respectivement. On pose $u_{NM} = (1_E - p_N) \ p_M$, et $\delta(M, N) = \|u_{NM}\|$; on a $\delta(M, N) = \delta(N^{\circ}, M^{\circ}) \leq 1$; la relation $\delta(M, N) < 1$ entraîne $M \cap N^{\circ} = \{0\}$. a) On désigne par $\tilde{M}$ le supplémentaire orthogonal dans M de $M \cap N^{\circ}$, et on pose $\varepsilon(M, N) = \delta(\tilde{M}, N)$. Montrer (avec les notations de l’exerc. 5) que l’on a $\ell(u_{NM}) = M \cap N^{\circ}$ et en déduire que $\varepsilon(M, N) = \langle u_{NM} \rangle \leq \delta(M, N)$; en outre, si $M \cap N^{\circ} = \{0\}$ (et en particulier si $\delta(M, N) < 1$), on a $\varepsilon(M, N) = \delta(M, N)$. b) Pour une application linéaire continue $u$ de E dans lui-même, on appelle conorme de $u$ le nombre $c(u) = \inf \|u(x)\|/\|x\|$, où $x$ parcourt l’ensemble des vecteurs $\neq 0$ orthogonaux à $u^{-1}(0)$ (si $u = 0$, on pose $c(u) = 1$). Pour que $u(E)$ soit fermé dans E, il faut et il suffit que $c(u) > 0$ (I, p. 17, th. 1). On a $c(u^*) = c(u)$. c) On pose $v_{NM} = p_N p_M$. Montrer que l’on a

(remarquer que $\|u_{NM}(x)\|^2 + \|v_{NM}(x)\|^2 = \|p_M.x\|^2$, et que le noyau de $v_{NM}$ est $M^{\circ} + (M \cap N^{\circ})$ et en déduire que $\langle u_{NM} \rangle^2 \leq 1 - c(v_{NM})^2$. d) Déduire de b) et c) que $\varepsilon(N, M) = \varepsilon(M, N)$ et, en utilisant a), que $\varepsilon(M^{\circ}, N^{\circ}) = \varepsilon(M, N)$. e) On pose $g(M, N) = \|p_M - p_N\|$ (cf. V, p. 63, exerc. 17). Montrer que l’on a (remarquer que $p_M - p_N = (1_E - p_N) \ p_M - p_N(1_E - p_M)$); en déduire que $\varepsilon(M, N) \leq g(M, N)$. Si $M \cap N^{\circ} = N \cap M^{\circ} = \{0\}$, on a la relation $\varepsilon(M, N) = \delta(M, N) = \delta(N, M) = g(M, N)$. Si $g(M, N) < 1$, on a $M \cap N^{\circ} = N \cap M^{\circ} = \{0\}$. f) Soient $Q_M, Q_N$ deux projecteurs continus dans E, d’images M et N respectivement ; donner une autre démonstration de la relation $g(M, N) \leq \|Q_M - Q_N\|$ (V, p. 63, exerc. 17). (Remarquer que pour tout $x \in E$, on a $\|(1_E - Q_M).x\|^2 + \|Q_M^*.x\|^2 = \|x\|^2 + \|(Q_M - Q_M^*).x\|^2$, et appliquer cette relation en prenant $x = (p_M - p_N).y$ et en notant que l’on a les relations $(1_E - Q_M)(p_M - p_N) = (Q_M - Q_N)p_N$ et $(p_M - p_N)Q_M = (1_E - p_N)(Q_M - Q_N).$