Bài tập 6, § 4

Cho $E$ là một không gian Hilbert, $M$, $N$ là hai không gian con đóng của $E$, $M^{\circ}$, $N^{\circ}$ là các phần bù trực giao tương ứng của chúng; ký hiệu $p_M$, $p_N$ là các phép chiếu trực giao lên M và N tương ứng, sao cho $1_E - p_M$, $1_E - p_N$ là các phép chiếu trực giao lên $M^{\circ}$ và $N^{\circ}$ tương ứng. Đặt $u_{NM} = (1_E - p_N) \ p_M$, và $\delta(M, N) = \|u_{NM}\|$; ta có $\delta(M, N) = \delta(N^{\circ}, M^{\circ}) \leq 1$; quan hệ $\delta(M, N) < 1$ kéo theo $M \cap N^{\circ} = \{0\}$. a) Ký hiệu $\tilde{M}$ là phần bù trực giao trong M của $M \cap N^{\circ}$, và đặt $\varepsilon(M, N) = \delta(\tilde{M}, N)$. Bây giờ chứng minh (với các ký hiệu của Bài tập 5) rằng ta có $\ell(u_{NM}) = M \cap N^{\circ}$ và suy ra $\varepsilon(M, N) = \langle u_{NM} \rangle \leq \delta(M, N)$; hơn nữa, nếu $M \cap N^{\circ} = \{0\}$ (và đặc biệt nếu $\delta(M, N) < 1$), ta có $\varepsilon(M, N) = \delta(M, N)$. b) Đối với một ánh xạ tuyến tính liên tục $u$ của E vào chính nó, conorm của $u$ được gọi là số $c(u) = \inf \|u(x)\|/\|x\|$, trong đó $x$ chạy qua tập hợp các vectơ $\neq 0$ trực giao với $u^{-1}(0)$ (nếu $u = 0$, đặt $c(u) = 1$). Để $u(E)$ đóng trong E, điều kiện cần và đủ là $c(u) > 0$ (I, p. 17, th. 1). Ta có $c(u^*) = c(u)$. c) Đặt $v_{NM} = p_N p_M$. Bây giờ chứng minh rằng ta có

(chú ý rằng $\|u_{NM}(x)\|^2 + \|v_{NM}(x)\|^2 = \|p_M.x\|^2$, và rằng hạt nhân của $v_{NM}$ là $M^{\circ} + (M \cap N^{\circ})$ và suy ra rằng $\langle u_{NM} \rangle^2 \leq 1 - c(v_{NM})^2$. d) Suy ra từ b) và c) rằng $\varepsilon(N, M) = \varepsilon(M, N)$ và, dùng a), rằng $\varepsilon(M^{\circ}, N^{\circ}) = \varepsilon(M, N)$. e) Đặt $g(M, N) = \|p_M - p_N\|$ (xem V, p. 63, Bài tập 17). Bây giờ chứng minh rằng ta có (chú ý rằng $p_M - p_N = (1_E - p_N) \ p_M - p_N(1_E - p_M)$); suy ra rằng $\varepsilon(M, N) \leq g(M, N)$. Nếu $M \cap N^{\circ} = N \cap M^{\circ} = \{0\}$, ta có quan hệ $\varepsilon(M, N) = \delta(M, N) = \delta(N, M) = g(M, N)$. Nếu $g(M, N) < 1$, ta có $M \cap N^{\circ} = N \cap M^{\circ} = \{0\}$. f) Cho $Q_M, Q_N$ là hai phép chiếu liên tục trong E, có ảnh tương ứng là M và N; hãy cho một chứng minh khác của quan hệ $g(M, N) \leq \|Q_M - Q_N\|$ (V, p. 63, Bài tập 17). (Chú ý rằng với mọi $x \in E$, ta có $\|(1_E - Q_M).x\|^2 + \|Q_M^*.x\|^2 = \|x\|^2 + \|(Q_M - Q_M^*).x\|^2$, và áp dụng quan hệ này bằng cách lấy $x = (p_M - p_N).y$ và chú ý rằng ta có các quan hệ $(1_E - Q_M)(p_M - p_N) = (Q_M - Q_N)p_N$ và $(p_M - p_N)Q_M = (1_E - p_N)(Q_M - Q_N)$.