Exercice 8, § 4

a) Soient E un espace hilbertien, $T$ une application linéaire continue de E dans lui-même telle que $\|T\|\leq 1$. Montrer que les relations $T.x=x,\ \langle T.x|x\rangle=\|x\|^2,\ T^*.x=x$ sont équivalentes, et que le noyau de $1_E-T$ et l’adhérence de l’image de $1_E-T$ sont des sous-espaces supplémentaires orthogonaux. b) Soit $T$ une application linéaire continue de E dans lui-même, vérifiant l’inégalité

pour tout $x\in E$. On a alors $\|T.x\|<\|x\|$ pour tout $x$ tel que $T.x\neq x$; pour tout $x\in E$, la suite $(T^n.x)$ converge vers un point $P.x$, et $P$ est le projecteur orthogonal sur le noyau de $1_E-T$. c) Soient $P_1,\ldots,P_r$ des orthoprojecteurs dans E. Montrer que le produit $T=P_1P_2\ldots P_r$ vérifie la relation (1) (raisonner par récurrence sur $r$); alors l’orthoprojecteur $P$ est le projecteur orthogonal sur l’intersection des images des projecteurs $P_j$ (noter que si $\|P_j.x\|<\|x\|$ pour un indice $j$, on a $\|T.x\|<\|x\|$).