Bài tập 8, § 4

a) Cho E là một không gian Hilbert, $T$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục của E vào chính nó sao cho $\|T\|\leq 1$. Chứng minh rằng các quan hệ $T.x=x,\ \langle T.x|x\rangle=\|x\|^2,\ T^*.x=x$ là tương đương, và rằng hạt nhân của $1_E-T$ và bao đóng của ảnh của $1_E-T$ là các không gian con phụ trực giao. b) Cho $T$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục của E vào chính nó, thỏa mãn bất đẳng thức

với mọi $x\in E$. Khi đó ta có $\|T.x\|<\|x\|$ với mọi $x$ sao cho $T.x\neq x$; với mọi $x\in E$, dãy $(T^n.x)$ hội tụ về một điểm $P.x$, và $P$ là phép chiếu trực giao lên hạt nhân của $1_E-T$. c) Cho $P_1,\ldots,P_r$ là các phép chiếu trực giao trong E. Chứng minh rằng tích $T=P_1P_2\ldots P_r$ thỏa mãn quan hệ (1) (lập luận bằng quy nạp theo $r$); khi đó phép chiếu trực giao $P$ là phép chiếu trực giao lên giao của các ảnh của các phép chiếu $P_j$ (chú ý rằng nếu $\|P_j.x\|<\|x\|$ với một chỉ số $j$, thì ta có $\|T.x\|<\|x\|$).