Fonctions d’une variable réelle, I, p. 46
Soient u et v deux fonctions numériques finies n fois dérivables dans un intervalle I \subset \mathbf{R}. Si l’on pose D^n(u/v) = (-1)^n w_n/v^{n+1} en tout point x où v(x) \neq 0, montrer que l’on a
w n = ( u v 0 0 … 0 u ′ v ′ v 0 … 0 u ′ ′ v ′ ′ 2 v ′ v … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u ( n − 1 ) v ( n − 1 ) ( n − 1 1 ) v ( n − 2 ) ( n − 1 2 ) v ( n − 3 ) … v u ( n ) v ( n ) ( n 1 ) v ( n − 1 ) ( n 2 ) v ( n − 2 m ) … ( n n − 1 ) v ′ )
w_n = \begin{pmatrix}
u & v & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
u' & v' & v & 0 & \ldots & 0 \\
u'' & v'' & 2v' & v & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
u^{(n-1)} & v^{(n-1)} & \binom{n-1}{1} v^{(n-2)} & \binom{n-1}{2} v^{(n-3)} & \ldots & v \\
u^{(n)} & v^{(n)} & \binom{n}{1} v^{(n-1)} & \binom{n}{2} v^{(n-2m)} & \ldots & \binom{n}{n-1} v'
\end{pmatrix}
w n = u u ′ u ′′ ⋮ u ( n − 1 ) u ( n ) v v ′ v ′′ ⋮ v ( n − 1 ) v ( n ) 0 v 2 v ′ ⋮ ( 1 n − 1 ) v ( n − 2 ) ( 1 n ) v ( n − 1 ) 0 0 v ⋮ ( 2 n − 1 ) v ( n − 3 ) ( 2 n ) v ( n − 2 m ) … … … ⋱ … … 0 0 0 ⋮ v ( n − 1 n ) v ′ (posant w = u/v, dériver n fois la relation u = vw).