§ 3. Dérivées d'ordre supérieur · Fonctions d’une variable réelle

§ 3. Dérivées d’ordre supérieur

1. Dérivées d’ordre $n$

Soit $\mathbf{f}$ une fonction vectorielle d’une variable réelle, définie, continue et dérivable dans un intervalle $I$ . Si la dérivée $\mathbf{f}'$ existe dans un voisinage (par rapport à $I$ ) d’un point $x_0 \in I$ , et est dérivable au point $x_0$ , sa dérivée est appelée la dérivée seconde de $\mathbf{f}$ au point $x_0$ , et se note $\mathbf{f}''(x_0)$ ou $D^2\mathbf{f}(x_0)$ . Si cette dérivée seconde existe en tout point de $I$ (ce qui implique que $\mathbf{f}'$ existe et est continue dans $I$ ), $x \mapsto \mathbf{f}''(x)$ est une fonction vectorielle qu’on désigne par la notation $\mathbf{f}''$ ou $D^2\mathbf{f}$ .

Par récurrence, on définit de même la dérivée $n$ -ème (ou dérivée d’ordre $n$ ) de $\mathbf{f}$ , qu’on note $\mathbf{f}^{(n)}$ ou $D^n\mathbf{f}$ ; par définition, elle a pour valeur au point $x_0 \in I$ la dérivée de la fonction $\mathbf{f}^{(n-1)}$ au point $x_0$ : cette définition suppose donc l’existence de toutes les dérivées $\mathbf{f}^{(k)}$ d’ordre $k \leq n - 1$ dans un voisinage de $x_0$ par rapport à $I$ , et la dérivabilité de $\mathbf{f}^{(n-1)}$ au point $x_0$ .

On dira que $\mathbf{f}$ est $n$ fois dérivable au point $x_0$ (resp. dans un intervalle) si elle admet une dérivée $n$ -ème en ce point (resp. dans cet intervalle). On dit que $\mathbf{f}$ est indéfiniment dérivable dans $I$ si, pour tout entier $n > 0$ , elle admet une dérivée d’ordre $n$ dans $I$ .

Par récurrence sur $m$ , on voit que

D^m(D^n\mathbf{f}) = D^{m+n}\mathbf{f}.

De façon précise, lorsque l’un des deux membres de (1) est défini, l’autre est défini et lui est égal.

Proposition 1

L’ensemble des fonctions vectorielles définies dans un intervalle $I \subset \mathbf{R}$ , prenant leurs valeurs dans un même espace vectoriel topologique $E$ , et admettant une dérivée $n$ -ème dans $I$ , est un espace vectoriel sur $\mathbf{R}$ , et $\mathbf{f} \mapsto D^n\mathbf{f}$ est une application linéaire de cet espace dans l’espace vectoriel des applications de $I$ dans $E$ .

On démontre en effet par récurrence sur $n$ les formules

D^n(\mathbf{f} + \mathbf{g}) = D^n\mathbf{f} + D^n\mathbf{g}

D^n(a\mathbf{f}) = D^n\mathbf{f} \cdot a

lorsque $\mathbf{f}$ et $\mathbf{g}$ ont une dérivée $n$ -ème dans $I$ ( $a$ constante).

Proposition 2 (« formule de Leibniz »). — Soient $E, F, G$ trois espaces vectoriels topologiques sur $\mathbf{R}$ , $(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mapsto [\mathbf{x}, \mathbf{y}]$ une application bilinéaire continue de $E \times F$ dans $G$ . Si $\mathbf{f}$ (resp. $\mathbf{g}$ ) est définie dans un intervalle $I \subset \mathbf{R}$ , prend ses valeurs dans $E$ (resp. $F$ ) et admet une dérivée n-ème dans I, [f.g] admet dans I une dérivée n-ème donnée par la formule

(4) $D^n[f.g] = [f^{(n)}.g] + \binom{n}{1} [f^{(n-1)}.g'] + \ldots$

+ \binom{n}{p} [f^{(n-p)}.g^{(p)}] + \ldots + [f.g^{(n)}].

La formule (4) se démontre encore par récurrence sur n (compte tenu de la relation $\binom{n}{p} = \binom{n-1}{p} + \binom{n-1}{p-1}$ entre coefficients binomiaux).

On vérifie de même la formule suivante (où les hypothèses sont les mêmes que dans la prop. 2):

(5) $[f^{(n)}.g] + (-1)^{n-1}[f.g^{(n)}]$

= D([f^{(n-1)}.g] - [f^{(n-2)}.g']) + \ldots + (-1)^{n-1} [f.g^{(n-1)}].

Les propositions précédentes ont été énoncées pour des fonctions n fois dérivables dans un intervalle; nous laissons au lecteur le soin d’énoncer les propositions analogues pour les fonctions n fois dérivables en un point.

2. Formule de Taylor

Soit f une fonction vectorielle définie dans un intervalle I ⊂ $\mathbf{R}$ , à valeurs dans un espace normé E sur $\mathbf{R}$ ; dire que f a une dérivée en un point a ∈ I signifie que l’on a

(6) $\lim_{x \to a,\ x \in I,\ x \neq a} \frac{f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)}{x-a} = 0$

autrement dit, que f est « approximativement égale » à la fonction linéaire $f(a) + f'(a)(x-a)$ au voisinage de a (cf. chap. V, où cette notion est développée de façon générale). Nous allons voir que l’existence de la dérivée d’ordre n de f au point a entraîne de la même manière que f est « approximativement égale » à un polynôme en x, de degré n, à coefficients dans E (TG, X, p. 39) au voisinage de a. De façon précise:

Théorème 1

Si la fonction f admet une dérivée n-ème au point a, on a

(7) $\lim_{x \to a,\ x \in I,\ x \neq a} \frac{f(x) - f(a) - f'(a)\frac{(x-a)}{1!} - \ldots - f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}}{(x-a)^n} = 0.$

Procédons par récurrence sur n. Le théorème est vrai pour $n = 1$ . Pour $n$

quelconque, on peut, d’après l’hypothèse de récurrence, l’appliquer à la dérivée $f'$ de $f$ : pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe donc $h > 0$ tel que, si on pose

g(x) = f(x) - f(a) - f'(a) \frac{(x-a)}{1!} - f''(a) \frac{(x-a)^2}{2!} - \ldots - f^{(n)}(a) \frac{(x-a)^n}{n!}

on ait, pour

|y-a| \leq h

y \in I

\|g'(y)\| = \left\| f'(y) - f'(a) - f''(a) \frac{(y-a)}{1!} - \ldots \right. \\ \left. - f^{(n)}(a) \frac{(y-a)^{n-1}}{(n-1)!} \right\| \leq \varepsilon |y-a|^{n-1}.

Appliquons le th. des accroissements finis (I, p. 22, th. 2) dans l’intervalle d’extrémités $a, x$ (avec $|x-a| \leq h$ ) à la fonction vectorielle $g$ et à la fonction numérique croissante égale à $\varepsilon |y-a|^n/n$ si $x > a$ , à $-\varepsilon |y-a|^n/n$ si $x < a$ ; il vient $\|g(x)\| \leq \varepsilon |x-a|^n/n$ , ce qui démontre le théorème.

On peut donc écrire

f(x) = f(a) + f'(a) \frac{(x-a)}{1!} + f''(a) \frac{(x-a)^2}{2!} + \ldots \\ + f^{(n)}(a) \frac{(x-a)^n}{n!} + u(x) \frac{(x-a)^n}{n!}

où

u(x)

tend vers 0 lorsque

x

tend vers

a

en restant dans

I

; cette formule est dite formule de Taylor d’ordre n, relative au point

a

, et le second membre de (8) est appelé le développement de Taylor d’ordre n de la fonction

f

au point

a

. Le dernier terme

r_n(z) = u(x)(x-a)^n/n!

est appelé le reste de la formule de Taylor d’ordre

n

Lorsque $f$ admet une dérivée d’ordre n + 1 dans $I$ , on peut avoir en fonction de cette dérivée $(n+1)$ -ème une majoration de $\|r_n(x)\|$ valable dans $I$ tout entier, et non seulement dans un voisinage non précisé de $a$ :

Proposition 3

Si $\|f^{(n+1)}(x)\| \leq M$ dans $I$ , on a*

\|r_n(x)\| \leq M \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}

dans I.

En effet, la formule est vraie pour $n = 0$ , d’après I, p. 23, th. 2. Démontrons-la par récurrence sur $n$ ; d’après l’hypothèse de récurrence appliquée à $f'$ , on a

\|r'_n(y)\| \leq M \frac{|y-a|^n}{n!}

d’où la formule (9) par application du th. des accroissements finis (I, p. 23, th. 2).

Corollaire

Si f est une fonction numérique finie admettant une dérivée (n + 1)-ème dans I, et si m $\leq f^{(n+1)}(x) \leq M$ dans I, on a, pour tout $x \geq a$ dans I

m \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} \leq r_n(x) \leq M \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}

le second membre ne pouvant être égal au premier (resp. au troisième) que si $f^{(n+1)}$ est constante et égale à m (resp. M) dans l’intervalle $[a, x]$ .

La démonstration se fait de la même manière, mais en appliquant le th. 1 de I, p. 17.

Remarque 1

On a déjà noté, au cours de la démonstration du th. 1, que si $\mathbf{f}$ admet une dérivée n-ème dans I, et si

\mathbf{f}(x) = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 + \ldots + a_n(x-a)^n + r_n(x)

est son développement de Taylor d’ordre n au point a, le développement de Taylor d’ordre $n-1$ de $\mathbf{f}'$ au point a est

\mathbf{f}'(x) = a_1 + 2a_2(x-a) + \ldots + na_n(x-a)^{n-1} + r'_n(x).

On dit qu’il s’obtient en dérivant terme à terme le développement (11) de $\mathbf{f}$ .

Remarque 2

Dans les mêmes hypothèses, les coefficients $a_i$ de (11) sont déterminés par récurrence par les relations

a_0 = \mathbf{f}(a)

a_1 = \lim_{x \to a} \frac{\mathbf{f}(x) - \mathbf{f}(a)}{x-a}

a_2 = \lim_{x \to a} \frac{\mathbf{f}(x) - \mathbf{f}(a) - a_1(x-a)}{(x-a)^2}

\ldots

a_n = \lim_{x \to a} \frac{\mathbf{f}(x) - \mathbf{f}(a) - a_1(x-a) - \ldots - a_{n-1}(x-a)^{n-1}}{(x-a)^n}.

Dans le cas où $a = 0$ , on conclut de là en particulier que, si $\mathbf{f}(x^p)$ ( $p$ entier > 0) admet une dérivée d’ordre $pn$ dans un voisinage de 0, le développement de Taylor d’ordre $pn$ de cette fonction n’est autre que

\mathbf{f}(x^p) = a_0 + a_1 x^p + a_2 x^{2p} + \ldots + a_n x^{np} + r_n(x^p)

$r_n(x^p)$ étant le reste du développement (cf. V, p. 11).

Remarque 3

La définition de la dérivée d’ordre n et les résultats qui précèdent se généralisent de façon immédiate aux fonctions d’une variable complexe; nous n’insistons pas davantage ici sur cette question, qui sera reprise en détail dans un Livre ultérieur de cet ouvrage.

Exercices

See the exercises for § 3.