Bourbaki

§ 2. Le théorème des accroissements finis

Dans les propositions démontrées au § 1, hypothèses et conclusions ont un caractère local : elles ne font intervenir que des propriétés des fonctions considérées dans un voisinage arbitrairement petit d’un point fixe. Au contraire, les questions dont nous allons nous occuper dans ce paragraphe font intervenir les propriétés d’une fonction dans tout un intervalle.

1. Théorème de Rolle

Proposition 1 (« théorème de Rolle »). — Soit ff une fonction numérique finie et continue dans un intervalle fermé I=[a,b]I = [a, b] (où a<ba < b), admettant en tout point de ]a,b[]a, b[ une dérivée (finie ou non), et telle que f(a)=f(b)f(a) = f(b). Il existe alors un point cc (au moins) de ]a,b[]a, b[ tel que f′(c)=0f'(c) = 0.

La proposition est évidente si ff est constante; sinon ff prend par exemple des valeurs >f(a)> f(a), et atteint donc sa borne supérieure en un point cc intérieur à II (TG, IV, p. 27, th. 1). Comme en ce point ff admet un maximum relatif, on a f′(c)=0f'(c) = 0 (I, p. 20, prop. 7).

Corollaire

Soit ff une fonction numérique finie et continue dans [a,b][a, b] (où a<ba < b), admettant en tout point de ]a,b[]a, b[ une dérivée (finie ou non). Il existe alors un point cc (au moins) de ]a,b[]a, b[ tel que f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).

Il suffit d’appliquer la prop. 1 à f(x)=f(b)−f(a)b−a(x−a)f(x) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a).

Ce corollaire signifie qu’il existe un point Mc=(c,f(c))M_c = (c, f(c)) de la courbe représentative CC de ff tel que a<c<ba < c < b et qu’en ce point la tangente à CC soit parallèle à la droite joignant les points Ma=(a,f(a))M_a = (a, f(a)) et Mb=(b,f(b))M_b = (b, f(b)).

2. Le théorème des accroissements finis pour les fonctions numériques

Du corollaire de la prop. 1 résulte en particulier l’importante propriété suivante : si on a m≤f′(x)≤Mm \leq f'(x) \leq M dans ]a,b[]a, b[, on a aussi m≤f(b)−f(a)b−a≤Mm \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq M. Autrement dit, d’une majoration de la dérivée f′f' dans tout un intervalle d’extrémités a,ba, b résulte la même majoration du rapport f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} (rapport de l’« accroissement » de la fonction à l’« accroissement » de la variable dans l’intervalle). Nous allons dans ce qui suit préciser et généraliser ce résultat fondamental.

Proposition 2

Soit ff une fonction numérique finie et continue dans un intervalle fermé borné I=[a,b]I = [a, b] (où a<ba < b), et admettant une dérivée à droite (finie ou non) en tous les points du complémentaire par rapport à [a,b[[a, b[ d’une partie dénombrable AA de cet intervalle. Si fd′(x)≥0f'_d(x) \geq 0 en tout point xx de [a,b[[a, b[ n’appartenant pas à AA, on a f(b)≥f(a)f(b) \geq f(a); si en outre fd′(x)>0f'_d(x) > 0 en un point au moins de [a,b[[a, b[, on a f(b)>f(a)f(b) > f(a).

Cite 1 · Cité par 2

Cite TG IV § 2. Propriétés topologiques fondamentales de la droite numérique

Cité par Remarque 1, Remarque 3

Soit ε>0\varepsilon > 0 un nombre arbitraire, et désignons par (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} une suite obtenue en rangeant dans un certain ordre les points de l’ensemble dénombrable AA. Soit JJ l’ensemble des points y∈Iy \in I tels que, pour tout xx tel que a≤x≤ya \leq x \leq y, on ait

f(x)−f(a)≥−ε(x−a)−ε∑an<x12n f(x) - f(a) \geq - \varepsilon (x - a) - \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n}

la somme du second membre étant étendue à l’ensemble des indices nn tels que an<xa_n < x. Nous allons démontrer que si fd′(x)≥0f'_d(x) \geq 0 en tout point de [a,b[[a, b[ distinct des ana_n, on a J=IJ = I.

Il est clair que JJ n’est pas vide, puisque a∈Ja \in J; d’autre part, la définition de cet ensemble montre que si y∈Jy \in J, on a x∈Jx \in J pour a≤x≤ya \leq x \leq y, donc JJ est un intervalle d’origine aa (TG, IV, p. 7, prop. 1); soit cc son extrémité. On a c∈Jc \in J; c’est évident si c=ac = a; sinon, pour tout x<cx < c, on a l’inégalité (1), et a fortiori

f(x)−f(a)≥−ε(c−a)−ε∑an<c12n f(x) - f(a) \geq - \varepsilon (c - a) - \varepsilon \sum_{a_n < c} \frac{1}{2^n}

d’où, en faisant tendre xx vers cc dans cette inégalité, résulte (en raison de la continuité de ff) que cc satisfait à (1).

Cela étant, nous allons voir qu’on a nécessairement c=bc = b. En effet, si on avait c<bc < b, ou bien on aurait c∉Ac \notin A; alors fd′(c)f'_d(c) existerait, et comme fd′(c)≥0f'_d(c) \geq 0 par hypothèse, il existerait un yy tel que c<y≤bc < y \leq b et que pour c≤x≤yc \leq x \leq y, l’on ait

f(x)−f(c)≥−ε(x−c) f(x) - f(c) \geq - \varepsilon (x - c)

d’où, en tenant compte de (1), où x est remplacé par c

f(x)−f(a)≥−ε(x−a)−ε∑an<x12n≥−ε(x−a)−ε∑an<x12n f(x) - f(a) \geq -\varepsilon(x-a) - \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n} \geq -\varepsilon(x-a) - \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n}
ce qui signifie qu’on aurait y \in J, contrairement à la définition de c. Ou bien on aurait c = a_k pour un indice k; comme f est continue au point a_k, il existerait un y tel que c < y \leq b et que, pour c < x \leq y, on ait
f(x)−f(c)≥−ε2k f(x) - f(c) \geq -\frac{\varepsilon}{2^k}
d’où, en tenant compte de (1), où x est remplacé par c,
f(x)−f(a)≥−ε(c−a)−ε∑an<x12n≥−ε(x−a)−ε∑an<x12n f(x) - f(a) \geq -\varepsilon(c-a) - \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n} \geq -\varepsilon(x-a) - \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n}
ce qui entraîne de nouveau contradiction; on a donc bien c = b, et par suite (2)
f(b)−f(a)≥−ε(b−a)−ε∑an<b12n≥−ε(b−a)−ε. f(b) - f(a) \geq -\varepsilon(b-a) - \varepsilon \sum_{a_n < b} \frac{1}{2^n} \geq -\varepsilon(b-a) - \varepsilon.
Comme \varepsilon > 0 est arbitraire, on déduit de (2) qu’on a f(b) \geq f(a), ce qui démontre la première partie de la proposition.

Remarquons maintenant que ce résultat appliqué à un intervalle [x, y] où a \leq x < y \leq b, prouve que f est croissante dans I; si on avait f(b) = f(a), on en déduirait que f est constante dans I, et par suite que f'_a(x) = 0 en tout point de [a, b[; d’où la seconde partie de l’énoncé.

Corollaire

Soit f une fonction numérique finie et continue dans [a, b] (où a < b) et admettant une dérivée à droite en tous les points du complémentaire par rapport à [a, b[ d’une partie dénombrable A de cet intervalle. Pour que f soit croissante dans I, il faut et il suffit que f'_a(x) \geq 0 en tout point de [a, b[ n’appartenant pas à A; pour que f soit strictement croissante, il faut et il suffit que la condition précédente soit vérifiée, et en outre que l’ensemble des points x où f'_a(x) > 0 soit partout dense dans [a, b].

Remarque 1

La prop. 2 reste valable quand on remplace dans son énoncé l’intervalle [a, b[ par ]a, b] et les mots « dérivée à droite » par « dérivée à gauche ».

Cite 1

Cite Proposition 2

Remarque 2

L’hypothèse de la continuité de f dans l’intervalle fermé I (et non seulement sa continuité à droite¹ en tout point de [a, b[) est essentielle pour la validité de la prop. 2 (cf. I, p. 43, exerc. 8).

Cite 1

Cite I § 1. Dérivée première

Remarque 3

La conclusion de la prop. 2 devient inexacte si on suppose seulement que l’ensemble A des points « exceptionnels » est rare dans I, mais non dénombrable (cf. I, p. 44, exerc. 3).

La prop. 2 entraîne le théorème fondamental suivant (en apparence plus général):

¹ Une fonction définie dans un intervalle I \subset \mathbf{R} est dite continue à droite en un point x_0 \in I si sa restriction à l’intervalle I \cap (x_0, +\infty[ est continue au point x_0 par rapport à cet intervalle; il revient au même de dire que la limite à droite de la fonction au point x_0 existe et est égale à la valeur de la fonction en ce point.

Cite 1

Cite Proposition 2

Théorème 1 (théorème des accroissements finis)

Soient ff et gg deux fonctions numériques finies et continues dans un intervalle fermé borné I=[a,b]I = [a, b], et admettant une dérivée à droite (finie ou non) en tous les points du complémentaire par rapport à [a,b[[a, b[ d’une partie dénombrable de cet intervalle. On suppose en outre que fd′(x)f'_d(x) et gd′(x)g'_d(x) ne peuvent devenir infinis simultanément qu’aux points d’une partie dénombrable de II et qu’il existe deux nombres finis m,Mm, M tels que

m⋅gd′(x)≤fd′(x)≤M⋅gd′(x) m \cdot g'_d(x) \leq f'_d(x) \leq M \cdot g'_d(x)

sauf aux points d’une partie dénombrable de II (en remplaçant M⋅gd′(x)M \cdot g'_d(x) (resp. m⋅gd′(x)m \cdot g'_d(x)) par 0 si M=0M = 0 (resp. m=0m = 0) et gd′(x)=±∞g'_d(x) = \pm \infty. Dans ces conditions, on a

m(g(b)−g(a))<f(b)−f(a)<M(g(b)−g(a)) m(g(b) - g(a)) < f(b) - f(a) < M(g(b) - g(a))

sauf lorsqu’on a f(x)=M⋅g(x)+kf(x) = M \cdot g(x) + k, ou f(x)=m⋅g(x)+kf(x) = m \cdot g(x) + k (kk constante) pour tout x∈Ix \in I.

Il suffit d’appliquer la prop. 2 aux fonctions M⋅g−fM \cdot g - f et f−m⋅gf - m \cdot g, qui, en vertu des hypothèses faites, ont une dérivée à droite positive sauf aux points d’une partie dénombrable de II.

Remarque

Le th. 1 est inexact si on suppose dans l’énoncé que fd′f'_d et gd′g'_d peuvent simultanément infinis aux points d’une partie non dénombrable de II (cf. I, p. 44, exerc. 3).

Corollaire

Soit ff une fonction numérique finie et continue dans [a,b][a, b] (où a<ba < b) et admettant une dérivée à droit (finie ou non) en tous les points du complémentaire BB par rapport à [a,b[[a, b[ d’une partie dénombrable de cet intervalle. Si mm et MM sont les bornes inférieure et supérieure de fd′f'_d dans BB, on a

m(b−a)<f(b)−f(a)−M(b−a) m(b - a) < f(b) - f(a) - M(b - a)

si ff n’est pas une fonction linéaire affine ; si ff est linéaire affine, on a

m=M=f(b)−f(a)b−a. m = M = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Les inégalités (5) sont des conséquences de (4) lorsque mm et MM sont finis; le cas où l’un ou l’autre de ces nombres est infini est trivial.

Remarque

Les inégalités (5) prouvent qu’une fonction continue ne peut avoir une dérivée à droite égale à +∞+\infty en tout point d’un intervalle (cf. I, p. 43, exerc. 6).

Cite 1

Cite § 2. Le théorème des accroissements finis

3. Le théorème des accroissements finis pour les fonctions vectorielles

Théorème 2

Soit f\mathbf{f} une fonction vectorielle définie et continue dans un intervalle fermé borné I=[a,b]I = [a, b] de R\mathbf{R} (où a<ba < b) et prenant ses valeurs dans un espace normé E\mathbf{E} sur R\mathbf{R}; soit gg une fonction numérique continue et croissante dans II. On suppose que f\mathbf{f} et gg admettent une dérivée à droite en tous les points du complémentaire par rapport à [a,b[[a, b[ d’une partie dénombrable AA de cet intervalle (ga′(x))(g'_a(x)) pouvant être infinie en certains des points x∉Ax \notin A, et qu’en chacun de ces points on a

∥fa′(x)∥≤ga′(x). \|f'_a(x)\| \leq g'_a(x).
Dans ces conditions, on a
∥f(b)−f(a)∥≤g(b)−g(a). \|f(b) - f(a)\| \leq g(b) - g(a).
La démonstration suit une marche tout à fait analogue à celle de la prop. 2. Soient ε>0\varepsilon > 0 un nombre arbitraire, et (an)(a_n) la suite obtenue en rangeant dans un certain ordre les points de AA. Soit JJ l’ensemble des points y∈Iy \in I tels que, pour tout xx tel que a≤x≤ya \leq x \leq y, on ait
∥f(x)−f(a)∥≤g(x)−g(a)+ε(x−a)+ε∑an<x12n; \|f(x) - f(a)\| \leq g(x) - g(a) + \varepsilon(x - a) + \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n};
nous allons montrer que J=IJ = I. On voit d’abord, comme dans la prop. 2, que JJ est un intervalle d’origine aa; si cc est son extrémité, on a c∈Jc \in J; en effet, pour tout x<cx < c, on a la relation (8), et a fortiori
∥f(x)−f(a)∥≤g(c)−g(a)+ε(c−a)+ε∑an<c12n \|f(x) - f(a)\| \leq g(c) - g(a) + \varepsilon(c - a) + \varepsilon \sum_{a_n < c} \frac{1}{2^n}
d’où, en faisant tendre xx vers cc dans cette inégalité, résulte, en raison de la continuité de ff, que cc satisfait à (8).

Cité par 1

Cité par Proposition 3

Montrons qu’on a nécessairement c=bc = b. En effet, supposons c<bc < b, et d’abord que c∉Ac \notin A; fa′(c)f'_a(c) et ga′(c)g'_a(c) existent donc et vérifient (6); supposons en premier lieu que ga′(c)g'_a(c) (qui est nécessairement ≥0\geq 0) soit finie; alors on peut toujours écrire fa′(c)=uga′(c)f'_a(c) = u g'_a(c), avec ∥u∥≤1\|u\| \leq 1; la fonction f(x)−ug(x)f(x) - u g(x) ayant au point cc une dérivée à droite nulle, il existe un yy tel que c<y≤bc < y \leq b et que, pour c≤x≤yc \leq x \leq y, on ait

∥f(x)−f(c)−u(g(x)−g(c))∥≤ε(x−c) \|f(x) - f(c) - u(g(x) - g(c))\| \leq \varepsilon(x - c)
d’où
∥f(x)−f(c)∥≤g(x)−g(c)+ε(x−c) \|f(x) - f(c)\| \leq g(x) - g(c) + \varepsilon(x - c)
et, en tenant compte de (8), où xx est remplacé par cc
∥f(x)−f(a)∥≤g(x)−g(a)+ε(x−a)+ε∑an<x12n \|f(x) - f(a)\| \leq g(x) - g(a) + \varepsilon(x - a) + \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n}
≤g(x)−g(a)+ε(x−a)+ε∑an<x12n. \leq g(x) - g(a) + \varepsilon(x - a) + \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n}.
On aurait donc y∈Jy \in J, ce qui est contradictoire. Supposons ensuite qu’on ait c∉Ac \notin A et ga′(c)=+∞g'_a(c) = +\infty; il existe alors un yy tel que c<y≤bc < y \leq b et que, pour c≤x≤yc \leq x \leq y, on ait, d’une part
∥f(x)−f(c)∥≤(∥fa′(c)∥+1)(x−c) \|f(x) - f(c)\| \leq (\|f'_a(c)\| + 1)(x - c)

et d'autre part

g(x)−g(c)≥(∥fd′(c)∥+1)(x−c) g(x) - g(c) \geq (\|f'_d(c)\| + 1)(x - c)
d'où
∥f(x)−f(c)∥≤g(x)−g(c) \|f(x) - f(c)\| \leq g(x) - g(c)
et on conclut comme précédemment. Enfin, si on a c=akc = a_k, il existe un yy tel que c<y≤bc < y \leq b et que, pour c<x≤yc < x \leq y, on ait
∥f(x)−f(c)∥≤ε2k \|f(x) - f(c)\| \leq \frac{\varepsilon}{2^k}
d'où en, tenant compte de (8), où xx est remplacé par cc,
∥f(x)−f(a)∥≤g(c)−g(a)+ε(c−a)+ε∑an<x12n \|f(x) - f(a)\| \leq g(c) - g(a) + \varepsilon(c - a) + \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n}
≤g(x)−g(a)+ε(x−a)+ε∑an<x12n \leq g(x) - g(a) + \varepsilon(x - a) + \varepsilon \sum_{a_n < x} \frac{1}{2^n}
ce qui entraîne de nouveau contradiction. La démonstration se termine comme celle de la propr. 2.

C.Q.F.D.

Remarque 1

Ici encore, on peut remplacer dans l'énoncé du th. 2 l'intervalle [a,b][a, b] par ]a,ba, b]] et « dérivée à droite » par « dérivée à gauche ».

Remarque 2

Nous montrerons plus tard comment on peut préciser les cas d'égalité dans la relation (7), et aussi comment on peut généraliser le th. 2 au cas où EE est un espace localement convexe quelconque, à l'aide d'une autre méthode de démonstration qui permet de déduire le th. 2 du th. 1.

Corollaire

Pour qu'une fonction vectorielle continue dans un intervalle I⊂RI \subset \mathbf{R}, à valeurs dans un espace normé EE sur R\mathbf{R}, soit constante dans II, il suffit qu'elle ait une dérivée à droite nulle en tous les points du complémentaire (par rapport à II) d'une partie dénombrable de II.

Remarque

Les démonstrations des th. 1 et 2 font intervenir de façon essentielle les propriétés topologiques particulières au corps R\mathbf{R}; on peut en effet donner des exemples de corps valués KK pour lesquels il existe des applications continues non constantes de KK dans lui-même qui ont en tout point une dérivée nulle (cf. I, p. 44, exerc. 2).

Proposition 3

Soit ff une fonction vectorielle à valeurs dans un espace normé EE sur R\mathbf{R}, définie et continue dans un intervalle I⊂RI \subset \mathbf{R}, dérivable à droite dans le complémentaire BB (par rapport à II) d'une partie dénombrable de II; quels que soient les points x0∈B, x∈I, y∈Ix_0 \in B,\ x \in I,\ y \in I, on a (en supposant par exemple x<yx < y)

∥f(y)−f(x)−fd′(x0)(y−x)∥≤(y−x)sup⁡z∈B, x<z<y∥fd′(z)−fd′(x0)∥. \|f(y) - f(x) - f'_d(x_0)(y - x)\| \leq (y - x) \sup_{z \in B,\ x < z < y} \|f'_d(z) - f'_d(x_0)\|.

Cite 1

Cite Théorème 2

Il suffit en effet d’appliquer le th. 2 en remplaçant f\mathbf{f} par la fonction

f(z)−fd′(x0)z, \mathbf{f}(z) - \mathbf{f}'_d(x_0)z,
et gg par la fonction linéaire dont la dérivée est sup⁡z∈B, x<z<y∥fd′(z)−fd′(x0)∥\sup_{z \in B,\ x < z < y} \| \mathbf{f}'_d(z) - \mathbf{f}'_d(x_0) \|.

Le th. 2 s’étend aux fonctions vectorielles d’une variable complexe :

Proposition 4

Soit f\mathbf{f} une fonction vectorielle d’une variable complexe définie, continue et dérivable dans une partie ouverte convexe AA du corps C\mathbf{C}, à valeurs dans un espace normé EE sur le corps C\mathbf{C}. Si on a ∥f′(z)∥≤m\| \mathbf{f}'(z) \| \leq m pour tout z∈Az \in A, on a ∥f(b)−f(a)∥≤m∣b−a∣\| \mathbf{f}(b) - \mathbf{f}(a) \| \leq m | b - a | pour tout couple de points a,ba, b de AA.

Posons en effet g(t)=1b−af(a+t(b−a))g(t) = \frac{1}{b - a} \mathbf{f}(a + t(b - a)) pour 0≤t≤10 \leq t \leq 1; comme g′(t)=f′(a+t(b−a))g'(t) = \mathbf{f}'(a + t(b - a)), l’application du th. 2 à la fonction gg donne aussitôt la proposition.

Corollaire

Pour qu’une fonction vectorielle f\mathbf{f} d’une variable complexe, définie et continue dans un ensemble A⊂CA \subset \mathbf{C}, à valeurs dans un espace normé sur C\mathbf{C}, soit constante, il suffit qu’elle ait une dérivée nulle en tout point de AA.

En effet, soit aa un point quelconque de AA; l’ensemble BB des points zz de AA où f(z)=f(a)\mathbf{f}(z) = \mathbf{f}(a) est fermé puisque f\mathbf{f} est continue; il est aussi ouvert par application de la prop. 4 (avec m=0m = 0) à un voisinage ouvert convexe, contenu dans AA, d’un point quelconque de BB; donc il est identique à AA.

Proposition 5

Soit f\mathbf{f} une fonction vectorielle d’une variable complexe, définie, continue et dérivable dans un ensemble ouvert convexe A⊂CA \subset \mathbf{C}, à valeurs dans un espace normé sur le corps C\mathbf{C}; quels que soient les points x0,xx_0, x et yy dans AA, on a*

∥f(y)−f(x)−f′(x0)(y−x)∥≤∣y−x∣⋅sup⁡z∈A∥f′(z)−f′(x0)∥. \| \mathbf{f}(y) - \mathbf{f}(x) - \mathbf{f}'(x_0) (y - x) \| \leq |y - x| \cdot \sup_{z \in A} \| \mathbf{f}'(z) - \mathbf{f}'(x_0) \|.
Il suffit d’appliquer le th. 2 à la fonction
g(t)=f(x+t(y−x))−f′(x0)(y−x)t g(t) = \mathbf{f}(x + t(y - x)) - \mathbf{f}'(x_0) (y - x)t
dans l’intervalle [0,1][0, 1].

4. Continuité des dérivées

Proposition 6

Soient II un intervalle ouvert de R\mathbf{R}, x0x_0 une des extrémités de II, f\mathbf{f} une fonction vectorielle définie et continue dans II, prenant ses valeurs dans un espace normé complet EE sur R\mathbf{R}; on suppose que f\mathbf{f} admet une dérivée à droite aux points du complémentaire BB, par rapport à II, d’une partie dénombrable de II. Pour que fd′(x)\mathbf{f}'_d(x) ait une limite lorsque xx tend vers x0x_0 en restant dans BB et ≠x0\neq x_0, il faut et il suffit que f(y)−f(x)y−x\frac{\mathbf{f}(y) - \mathbf{f}(x)}{y - x} ait une limite cc lorsque (x,y)(x, y) tend vers (x0,x0)(x_0, x_0) de sorte que x∈I,y∈I,x≠x0,y≠x0x \in I, y \in I, x \neq x_0, y \neq x_0 et x≠yx \neq y. Dans ces conditions, f\mathbf{f} se prolonge par continuité au point x0x_0, fd′(x)\mathbf{f}'_d(x) tend vers c\mathbf{c} lorsque xx tend vers x0x_0 (en restant dans B) et la fonction f\mathbf{f} prolongée (définie dans I⊂{x0}I \subset \{x_0\}) admet au point x0x_0 une dérivée égale à c\mathbf{c}.

Supposons par exemple que x0x_0 soit l’extrémité de II. Montrons d’abord que si fd′(x)\mathbf{f}'_d(x) tend vers c\mathbf{c} lorsque xx tend vers x0x_0 en restant dans B et ≠x0\neq x_0, f(y)−f(x)y−x\frac{\mathbf{f}(y) - \mathbf{f}(x)}{y - x} tend vers c\mathbf{c}; cela résulte aussitôt du th. 2 appliqué à la fonction f(z)−cz\mathbf{f}(z) - \mathbf{c}z, qui donne

∥f(y)−f(x)−c(y−x)∥≤(y−x)sup⁡z∈B,x<z<y∥fd′(z)−c∥ \| \mathbf{f}(y) - \mathbf{f}(x) - \mathbf{c}(y - x) \| \leq (y - x) \sup_{z \in B, x < z < y} \| \mathbf{f}'_d(z) - \mathbf{c} \|
pour x<y<x0x < y < x_0. Inversement, si f(y)−f(x)y−x\frac{\mathbf{f}(y) - \mathbf{f}(x)}{y - x} tend vers c\mathbf{c}, pour tout ε>0\varepsilon > 0, il existe h>0h > 0 tel que les conditions ∣x−x0∣<h,∣y−x0∣<h|x - x_0| < h, |y - x_0| < h (x≠x0,y≠x0x \neq x_0, y \neq x_0) entraînent
∥f(y)−f(x)−c(y−x)∥≤ε∣y−x∣. \| \mathbf{f}(y) - \mathbf{f}(x) - \mathbf{c}(y - x) \| \leq \varepsilon |y - x|.
Mais pour tout x∈Bx \in B et ≠x0\neq x_0, tel que ∣x−x0∣<h|x - x_0| < h, il existe k>0k > 0 (dépendant de xx) tel que la relation x<y<x+kx < y < x + k entraîne
∥f(y)−f(x)−fd′(x)(y−x)∥≤ε∣y−x∣ \| \mathbf{f}(y) - \mathbf{f}(x) - \mathbf{f}'_d(x)(y - x) \| \leq \varepsilon |y - x|
d’où, en tenant compte de (11):
∥fd′(x)−c∥≤2ε \| \mathbf{f}'_d(x) - \mathbf{c} \| \leq 2\varepsilon
pour ∣x−x0∣<h,x∈B|x - x_0| < h, x \in B et x≠x0x \neq x_0, ce qui prouve que fd′(x)\mathbf{f}'_d(x) tend vers c\mathbf{c}. En outre, de la relation (11) on tire d’abord que
∥f(y)−f(x)∥≤(∥c∥+ε)∣y−x∣, \| \mathbf{f}(y) - \mathbf{f}(x) \| \leq (\|\mathbf{c}\| + \varepsilon) |y - x|,
ce qui prouve (critère de Cauchy) que f\mathbf{f} a une limite d\mathbf{d} au point x0x_0, lorsque xx tend vers ce point en restant dans II et ≠x0\neq x_0; faisant alors tendre xx vers x0x_0 dans (11), il vient, pour y∈I,y≠x0y \in I, y \neq x_0 et ∣y−x0∣≤h|y - x_0| \leq h,
∥f(y)−dy−x0−c∥≤ε \left\| \frac{\mathbf{f}(y) - \mathbf{d}}{y - x_0} - \mathbf{c} \right\| \leq \varepsilon
ce qui prouve que c\mathbf{c} est la dérivée au point x0x_0 de la fonction f\mathbf{f} prolongée par continuité à I∩{x0}I \cap \{x_0\}.

Remarque

Un raisonnement analogue, basé sur le th. 1, montre que si ff est une fonction numérique telle que fd′(x)f'_d(x) tende vers +∞+\infty au point x0x_0, le rapport

(f(y)−f(x))/(y−x) (f(y) - f(x))/(y - x)
tend aussi vers +∞+\infty, et réciproquement; si en outre ff a une limite finie au point x0x_0 (ce qui ici n’est plus une conséquence de l’hypothèse), la fonction ff prolongée au point x0x_0 par continuité a une dérivée égale à +∞+\infty en ce point.

Exercices

See the exercises for § 2.

Transcrit du volume imprimé. Non traduit.