En effet, il existe deux nombres rationnels $p/q, r/s$ tels que $0 < p/q < x$ et $y < r/s$, puisque les intervalles ouverts $]0, x[$ et $]y, \to[$ ne sont pas vides (IV, p. 4, prop. 4); il suffit de prendre $n$ tel que $nps > qr$.

Remarque. — Le th. 2 est souvent cité sous le nom de « théorème de Heine–Borel »; voir les Notes historiques des chap. II et IV.

En effet, soit $A$ une partie majorée et non vide de $\mathbf{R}$; soit $b$ un majorant de $A$; on a donc $A \subset ]\leftarrow, b]$. Pour chaque $x \in A$, considérons l’ensemble $A_x$ des majorants de $x$ appartenant à $A$; les ensembles $A_x$ forment une base de filtre $\mathfrak{B}$ sur $\mathbf{R}$, car $A_y \subset A_x$ si $y \geq x$. Soit $a$ un point de $A$; pour tout $x \geq a$, appartenant à $A$, $A_x$ est contenu dans l’intervalle compact $[a, b]$, donc la base de filtre $\mathfrak{B}$ a un point adhérent $c$. Les intervalles $[x, \rightarrow[$ étant fermés, $c$ appartient à leur intersection, donc $c$ est un majorant de $A$; d’autre part, tout autre majorant $z$ de $A$ est $\geq c$, car, dans le cas contraire, le voisinage $]z, \rightarrow[$ de $c$ ne contiendrait aucun point de $A$; $c$ est donc bien la borne supérieure de $A$.

On peut raisonner de même pour un ensemble minoré non vide $B$, ou remarquer simplement que $-B$ est majoré et non vide, et que, si $c$ est la borne supérieure de $-B$, $-c$ est la borne inférieure de $B$.

La borne supérieure $c$ de $A$ peut être caractérisée par les deux propriétés suivantes: 1° Quel que soit $x \in A$, $x \leq c$. 2° Quel que soit $a < c$, il existe $x \in A$ tel que $a < x \leq c$.

La borne supérieure d’un ensemble fermé (majoré et non vide) appartient à cet ensemble et en constitue le plus grand élément; la borne supérieure d’une partie $A$ quelconque, majorée et non vide, de $\mathbf{R}$, peut donc être définie comme le plus grand nombre réel adhérent à $A$.

La condition est évidemment nécessaire. Réciproquement, supposons-la vérifiée. Si A n’est ni majoré ni minoré, il est identique à $\mathbf{R}$, car, pour tout $x \in \mathbf{R}$, il existe alors deux points $a, b$ de A tels que $a < x < b$. Si A est majoré et non minoré, soit $k$ sa borne supérieure ; quel que soit $x < k$, il existe $a$ et $b$ dans A tels que $a < x < b \leq k$, donc $x \in A$; A ne peut donc être que l’un des deux intervalles $]\leftarrow, k]$, $]\leftarrow, k[$. On raisonne de même dans les autres cas.

1° La condition est nécessaire. Supposons A connexe ; s’il est réduit à un point, c’est un intervalle. Sinon, soient $a$ et $b$ deux points de A tels que $a < b$; il suffit, d’après la prop. 1 de IV, p. 7, de montrer que tout $x$ tel que $a < x < b$ appartient à A. Or, si on avait $x \notin A$, on aurait $A \subset \mathfrak{G}\{x\}$; mais $\mathfrak{G}\{x\}$ est la réunion de deux ensembles ouverts $]\leftarrow, x[$ et $x, \rightarrow[$ qui sont sans point commun et dont chacun rencontre A; A ne serait donc pas connexe, contrairement à l’hypothèse.

2° La condition est suffisante. Montrons d’abord que tout intervalle compact $[a, b]$ est connexe. Pour tout entier $n > 0$ soit $V_{1/n}$ l’entourage formé des couples $(x, y)$ tels que $|x - y| \leq 1/n$; d’après II, p. 32, prop. 6, il suffit de voir que deux points quelconques $x, y$ de $[a, b]$ tels que $x < y$ peuvent être joints par une $V_{1/n}$-chaîne. Soit $p$ le plus grand entier tel que $p/n \leq x$, $q$ le plus grand entier tel que $q/n \leq y$ (ces entiers existent d’après le th. 1 de IV, p. 6); on a $p \leq q$. Si $q = p$, $y - x < 1/n$, les points $x$ et $y$ forment déjà une $V_{1/n}$-chaîne. Si $q < p$, posons $x_i = (p + i)/n$ ($i = 1, 2, \ldots, q - p$); on a $x_1 - x \leq 1/n$, $y - x_{q-p} \leq 1/n$ et $x_{i+1} - x_i = 1/n$, donc les points $x, x_1, x_2, \ldots, x_{q-p}, y$ forment une $V_{1/n}$-chaîne joignant $x$ et $y$.

Si maintenant I est un intervalle quelconque non réduit à un point, et $a$ et $b$ deux points de I tels que $a < b$, l’intervalle $(a, b)$ est contenu dans I et est connexe, donc I est connexe.

D’après le th. 4, une partie de $\mathbf{R}$ ne contenant aucun intervalle non réduit à un point est totalement discontinue; il en est ainsi, en particulier, de l’ensemble $\mathbf{Q}$ des nombres rationnels, puisque l’ensemble $\mathbf{C}\mathbf{Q}$ des nombres irrationnels est partout dense.

Soit A un ensemble ouvert non vide dans $\mathbf{R}$; comme $\mathbf{R}$ est localement connexe, toute composante connexe de A est un ensemble ouvert connexe (I, p. 85, prop. 11) donc un intervalle ouvert d’après le th. 4. Deux quelconques de ces intervalles sont toujours sans point commun; d’autre part, chacun d’eux contient un nombre rationnel, donc l’ensemble de ces intervalles a une puissance inférieure à celle de $\mathbf{Q}$, c’est-à-dire est dénombrable.

Tout ensemble fermé dans $\mathbf{R}$ est donc le complémentaire de la réunion d’une suite (finie ou infinie) $(I_n)$ d’intervalles ouverts sans point commun deux à deux; ces intervalles sont dits intervalles contigus à l’ensemble fermé considéré. Réciproquement, si on se donne une telle suite d’intervalles, le complémentaire de leur réunion est un ensemble fermé auquel ces intervalles sont contigus.

1° La condition est nécessaire. En effet, soient $a$ et $b$ deux points de $I$ tels que $a < b$ et supposons par exemple $f(a) < f(b)$. Montrons que $f$ est strictement croissante dans $I$. Tout d’abord, si $a < c < b$, on a nécessairement $f(a) < f(c) < f(b)$; en effet, si on avait par exemple $f(a) < f(b) < f(c)$, l’image par $f$ de l’intervalle $[a, c]$ serait un ensemble connexe (I, p. 82, prop. 4) et contiendrait donc l’intervalle $\{f(a), f(c)\}$; il existerait par suite $x \in [a, c]$ tel que $f(x) = f(b)$, contrairement à l’hypothèse que $f$ est injective.

On en déduit que, si $x$ et $y$ sont deux points de I tels que $x < y$, on a $f(x) < f(y)$; en effet, on a $f(a) < f(x) < f(b)$ pour $a < x < b$, $f(a) < f(b) < f(x)$ pour $b < x, f(x) < f(a) < f(b)$ pour $x < a$; en répétant le raisonnement pour $a, x$ et $y$ au lieu de $a, b$ et $x$, on voit que $f(x) < f(y)$.

$2^\circ$ La condition est suffisante. Supposons $f$ continue et strictement monotone (par exemple, strictement croissante) dans I; $f(I)$ est connexe, donc est un intervalle, et comme $f$ est strictement croissante, $f$ est une application bijective de I sur $f(I)$. En outre, l’image par $f$ d’un intervalle ouvert dans I est un intervalle ouvert dans $f(I)$; donc (IV, p. 5, prop. 5), $f$ est un homéomorphisme de I sur $f(I)$.