§ 8. Développements usuels des nombres réels

1. Valeurs approchées d’un nombre réel

Définition 1

Étant donné un nombre $\varepsilon > 0$ , on dit qu’un nombre réel $r$ est valeur approchée à $\varepsilon$ près d’un nombre réel $x$ , si $|x - r| \leq \varepsilon$ ; $r$ est dit valeur approchée par défaut si $r \leq x$ , par excès si $r \geq x$ .

Soit $A$ une partie partout dense de $\mathbf{R}$ ; pour tout $x \in \mathbf{R}$ , et tout $\varepsilon > 0$ , il existe une valeur approchée de $x$ à $\varepsilon$ près par défaut (resp. par excès) appartenant à $A$ , car l’intervalle $]x - \varepsilon, x[$ (resp. $]x, x + \varepsilon[$ ) contient un point au moins de $A$ . Si on considère maintenant une suite strictement décroissante donnée $(\varepsilon_n)$ de nombres $> 0$ , tendant vers $0$ , et si $r_n \in A$ est une valeur approchée de $x$ à $\varepsilon_n$ près, la suite $(r_n)$ a pour limite $x$ lorsque $n$ croît indéfiniment.

Dans le cas où $A$ est un sous-groupe du groupe additif $\mathbf{R}$ , et qu’on astreint les $\varepsilon_n$ à appartenir à $A$ , on peut définir canoniquement, pour tout $x \in \mathbf{R}$ , une suite $(r_n)$ de valeurs approchées par défaut de $x$ , appartenant à $A$ .

En effet, d’après l’axiome d’Archimède (IV, p. 6, th. 1), l’ensemble des entiers $p$ tels que $p \varepsilon_n \leq x$ a un plus grand élément $p_n$ ; autrement dit, il existe un entier $p_n$ et un seul tel que

p_n \varepsilon_n \leq x < (p_n + 1) \varepsilon_n.

Comme $|x - p_n \varepsilon_n| \leq \varepsilon_n$ , $p_n \varepsilon_n$ est une valeur approchée de $x$ à $\varepsilon_n$ près par défaut et appartient à $A$ d’après l’hypothèse; de même $(p_n + 1) \varepsilon_n$ est une valeur approchée de $x$ à $\varepsilon_n$ près par excès, appartenant à $A$ , et les deux suites $(p_n \varepsilon_n)$ et $((p_n + 1) \varepsilon_n)$ ont pour limite $x$ .

2. Développements des nombres réels relatifs à une suite de base

On va se borner à étudier le cas où $\varepsilon_n = \frac{1}{d_n}$ , $(d_n)$ étant une suite strictement croissante d’entiers tels que $d_0 = 1$ , et que $d_n$ soit un multiple de $d_{n-1}$ pour $n \geq 1$ .

On posera $a_n = \frac{d_n}{d_{n-1}}$ ( $n \geq 1$ ): c’est un entier $> 1$ . Dans ce cas, la suite des valeurs approchées par défaut $r_n = \frac{p_n}{d_n}$ est croissante: en effet, $p_n$ est le plus grand entier tel que $\frac{p_n}{d_n} \leq x$ ; mais on a

\frac{p_{n-1}}{d_{n-1}} = \frac{p_{n-1} a_n}{d_n} \leq x < \frac{p_{n-1} + 1}{d_{n-1}} = \frac{p_{n-1} a_n + a_n}{d_n}

d’où $a_n p_{n-1} \leq p_n < a_n p_{n-1} + a_n$ , et par suite $r_{n-1} \leq r_n \leq x$ . On pose

p_n = a_n p_{n-1} + u_n

et on a $0 \leq u_n < a_n$ , ce qui équivaut à $0 \leq u_n \leq a_n - 1$ , puisque $u_n$ est entier.

On en tire

(3)

r_n = r_{n-1} + \frac{u_n}{d_n} = p_0 + \sum_{k=1}^n \frac{u_k}{d_k}

et, comme

x = \lim_{n \to \infty} r_n

(4)

x = p_0 + \sum_{n=1}^\infty \frac{u_n}{d_n}.

La série qui figure au second membre de (4) et dont $x$ est la somme, est appelée le développement de x relatif à la suite de base ( $d_n$ ). Tous les coefficients $u_n$ sont $\geqslant 0$ ; $p_0$ est, par définition, le plus grand entier $p$ tel que $p \leqslant x$ ; on l’appelle partie entière de x, et on le désigne souvent par la notation $[x]$ .

3. Définition d’un nombre réel par son développement

Réciproquement, donnons-nous un entier $q_0$ , et une suite $(v_n)$ ( $n \geqslant 1$ ) d’entiers tels que $0 \leqslant v_n \leqslant a_n - 1$ , et cherchons s’il existe un nombre $x$ dont le développement (4) soit tel que $p_0 = q_0$ , $u_n = v_n$ quel que soit $n$ . Si ce nombre existe, il est unique, étant égal à $q_0 + \sum_{n=1}^\infty \frac{v_n}{d_n}$ .

Pour tout entier $m > 0$ , on a (principe de comparaison)

\sum_{n=m+1}^\infty \frac{v_n}{d_n} \leqslant \sum_{n=m+1}^\infty \frac{a_n - 1}{d_n} = \sum_{n=m+1}^\infty \left( \frac{1}{d_{n-1}} - \frac{1}{d_n} \right) = \frac{1}{d_m}

et les deux membres extrêmes ne sont égaux que si $v_n = a_n - 1$ pour tout $n > m$ (IV, p. 33, th. 2). Donc la série de terme général $\frac{v_n}{d_n}$ est convergente; en outre, si $x = q_0 + \sum_{n=1}^\infty \frac{v_n}{d_n}$ , on a

s_m = q_0 + \sum_{n=1}^m \frac{v_n}{d_n} \leqslant x \leqslant s_m + \frac{1}{d_m}

et on ne peut avoir $x = s_m + \frac{1}{d_m}$ que si $v_n = a_n - 1$ quel que soit $n > m$ . Comme $s_m$ est une fraction de dénominateur $d_m$ , la valeur approchée $r_m$ de $x$ à $1/d_m$ près par défaut est égale à $s_m$ ou à $s_m + \frac{1}{d_m}$ ; et ce dernier cas ne peut se produire que si $v_n = a_n - 1$ pour tout $n > m$ . Nous sommes ainsi amenés à distinguer deux cas:

1° Il existe une infinité de valeurs de $n$ telles que $v_n < a_n - 1$ : la série $q_0 + \sum_{n=1}^\infty \frac{v_n}{d_n}$ est alors identique au développement de sa somme $x$ .

2° Il existe un entier $m \geqslant 0$ tel que $v_n = a_n - 1$ pour $n > m$ , et $v_m < a_m - 1$ (si $m > 0$ ) ; alors la somme $x$ de la série $q_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{v_n}{d_n}$ est égale au nombre rationnel

q_0 + \sum_{n=1}^{m} \frac{v_n}{d_n} + \frac{1}{d_m}

qui est de la forme $k/d_m$ ( $k$ entier) ; le développement de $x$ est identique à la série (5), dont tous les termes d’indices $> m$ sont nuls ; on dit qu’un tel développement est limité. La série

q_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{v_n}{d_n} = q_0 + \sum_{n=1}^{m} \frac{v_n}{d_n} + \sum_{n=m+1}^{\infty} \frac{a_n - 1}{d_n}

est appelée le développement impropre du nombre $x$ .

Inversement, soit $x$ un nombre rationnel qui peut se mettre sous forme d’une fraction de dénominateur $d_n$ pour une valeur de $n$ ; soit $m$ le plus petit entier tel que $x$ soit de la forme $k/d_m$ ( $k$ entier) ; on a $r_n < x$ pour $n < m$ , et $r_m = x$ , donc le développement de $x$ est de la forme (5), et $x$ a un développement impropre, donné par la formule (6) ; ce développement impropre est d’ailleurs unique.

Pour qu’un nombre rationnel, mis sous forme irréductible $p/q$ , soit égal à une fraction de dénominateur $d_m$ , il faut et il suffit que $q$ divise $d_m$ (le nombre $m$ sera alors le plus petit entier $n$ tel que $q$ divise $d_n$ ). Il peut se faire que tout nombre rationnel ait cette propriété (pour un $n$ convenablement choisi) : il faut et il suffit pour cela que tout entier $> 0$ divise un $d_n$ ; ce sera par exemple le cas si $d_n = n!$ . Si les $d_n$ ont cette propriété, pour qu’un nombre soit rationnel, il faut et il suffit que son développement relatif à la suite $(d_n)$ soit limité.

En résumé, à toute suite $s$ dont le premier terme $q_0$ est un entier quelconque, et dont le terme $v_n$ ( $n \geqslant 1$ ) est tel que $0 \leqslant v_n \leqslant a_n - 1$ , correspond un nombre réel égal à $q_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{v_n}{d_n}$ ; si $I_n$ désigne l’intervalle $(0, a_n - 1)$ de $\mathbf{N}$ , on définit ainsi une application $\varphi$ de $E = \mathbf{Z} \times \prod_{n=1}^{\infty} I_n$ sur la droite numérique $\mathbf{R}$ ; en outre l’équation $\varphi(s) = x$ , où $x \in \mathbf{R}$ est donné, a une solution si $x$ n’est pas une fraction de dénominateur $d_n$ (pour un $n$ convenable), et deux solutions dans le cas contraire.

4. Comparaison des développements

La connaissance des développements de deux nombres réels distincts $x, y$ , permet de déterminer si $x < y$ ou si $x > y$ .

En effet, soient $x = p_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{d_n}$ , $y = q_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{v_n}{d_n}$ les développements de $x$ et $y$ . Si $p_0 < q_0$ , on a $x < y$ , car

p_0 \leqslant x < p_0 + 1 \leqslant q_0 \leqslant y.

Plus généralement, supposons que $p_0 = q_0$ , et $u_n = v_n$ pour $1 \leq n < m$ , mais que $u_m < v_m$ ; si

r_n = p_0 + \sum_{k=1}^n \frac{u_k}{d_k}, \quad s_n = q_0 + \sum_{k=1}^n \frac{v_k}{d_k},

on a $r_n = s_n$ pour $n < m$ , et, comme $u_m + 1 \leq v_m$ , $r_m + \frac{1}{d_m} \leq s_m$ ; mais $r_m \leq x < r_m + \frac{1}{d_m} \leq s_m \leq y$ , donc on a encore $x < y$ . Autrement dit, l’ordre de $x$ et $y$ est le même que celui des deux premiers termes distincts de leurs développements respectifs.

Il en résulte que, si $p_0 = q_0$ et $u_n = v_n$ pour $n < m$ , les $m$ premiers termes du développement de tout nombre $z$ appartenant à l’intervalle fermé d’extrémités $x$ et $y$ sont les mêmes que ceux des développements de $x$ et $y$ .

On remarquera aussi que, dans ce cas, on a $|y - x| \leq \frac{1}{d_{m-1}}$ . Si on munit $\mathbf{Z}$ et les intervalles $I_n$ de la topologie discrète, on peut donc dire que l’application $\varphi$ définie ci-dessus est continue dans l’espace produit $E$ .

5. Développements de base a

Les suites de base les plus importantes sont celles où $d_n = a^n$ , $a$ étant un entier $> 1$ ; on dit alors que $a$ est le nombre de base (ou simplement la base) des développements correspondants. Pour les calculs numériques manuels, on emploie les développements de base 10, qui sont dits développements décimaux; dans les calculs sur ordinateurs, on utilise le plus souvent les développements de base 2 (dits développements dyadiques).

Pour représenter les valeurs approchées par défaut $r_n$ d’un nombre $x \geq 0$ , dans son développement de base $a$ , on se sert du symbolisme suivant: on désigne chaque entier $u$ tel que $0 \leq u \leq a - 1$ par un signe particulier; si

r_n = p_0 + \sum_{k=1}^n \frac{u_k}{d_k},

on écrit d’abord, à l’aide de ces signes, le développement de base $a$ de l’entier positif $p_0 = [x]$ (E, III, p. 40), puis on place une virgule, et on écrit ensuite successivement les signes représentant les nombres $u_1, u_2, \ldots, u_n$ . Si S est le symbole ainsi obtenu, on écrit souvent, par abus de langage, $x = S \ldots$ ; il doit être entendu une fois pour toutes qu’une telle relation n’est qu’une manière abrégée d’indiquer que le second membre est la valeur approchée de $x$ à $1/a^n$ près par défaut.

Pour les nombres négatifs, l’usage établi est différent: on écrit, dans le symbolisme précédent, une valeur approchée de $x' = -x \geq 0$ , en le faisant précéder du signe «−»; c’est donc en réalité une valeur approchée de $x$ par excès à $1/a^n$ près qu’on désigne ainsi.

Cette manière de faire ne laisse pas de présenter des inconvénients pour le calcul numérique; et pour la notation des logarithmes négatifs, on adopte le même symbolisme que pour les nombres positifs, en surlignant simplement la partie entière, pour indiquer qu’elle est égale à l’opposé du nombre écrit.

6. Cardinal de R

On a $\mathbf{R} = \bigcup_{n \in \mathbf{Z}} [n, n+1[$ , et tous les intervalles $[n, n+1[$ sont équipotents à $[0, 1[$ ; comme $[0, 1[$ est un ensemble infini, on en conclut (E, III, p. 49, cor. 3) que $\mathbf{R}$ est équipotent à l’intervalle $[0, 1[$ . En considérant le développement dyadique des nombres de l’intervalle $[0, 1[$ , nous allons montrer que cet intervalle est équipotent à l’ensemble S de toutes les suites $(u_n)$ dont les termes sont égaux à 0 ou à 1.

Tout d’abord, il est équipotent au sous-ensemble S’ de S formé des suites $(u_n)$ telles que $u_n \neq 0$ pour une infinité de valeurs de $n$ (IV, p. 42). D’autre part, l’ensemble S” complémentaire de S’ dans S, est équipotent à l’ensemble des développements impropres des nombres rationnels égaux à une fraction de dénominateur $2^n$ ; comme ces nombres forment une partie de $\mathbf{Q}$ , leur ensemble est dénombrable, donc aussi S”. Comme S’ est infini, il est équipotent à S (E, III, p. 49, cor. 4), d’où la proposition.

Remarquons maintenant que S est équipotent à $\mathfrak{P}(\mathbf{N})$ ; en effet, on définit une application bijective de $\mathfrak{P}(\mathbf{N})$ sur S, en faisant correspondre à toute partie X de $\mathbf{N}$ la suite $(u_n)$ telle que $u_n = 0$ pour $n \in X$ , et $u_n = 1$ pour $n \notin X$ .

Nous avons finalement démontré le théorème suivant:

Théorème 1 (Cantor)

L’ensemble des nombres réels est équipotent à l’ensemble des parties d’un ensemble infini dénombrable.

Corollaire

L’ensemble des nombres réels a une puissance strictement supérieure à celle d’un ensemble dénombrable.

On dit qu’un ensemble équipotent à $\mathbf{R}$ a la puissance du continu. D’après la prop. 1 de IV, p. 13, tout intervalle non réduit à un point a la puissance du continu; le complémentaire d’une partie dénombrable de $\mathbf{R}$ a la puissance du continu (E, III, p. 49, cor. 4); en particulier, l’ensemble des nombres irrationnels a la puissance du continu.

Exercises

Exercices

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