Exercice 7, § 2

Soit E un ensemble totalement ordonné non vide, muni de la topologie $\mathscr{T}_0(E)$.

a) Si E est connexe, montrer qu’il possède les deux propriétés suivantes: α) Toute partie majorée et non vide de E a une borne supérieure (si A est majoré et non vide, B l’ensemble de ses majorants, C l’ensemble des minorants de B, montrer que $B \cup C = E$ et que B et C sont fermés). β) L’ensemble E est sans trou, autrement dit (E, III, p. 73, exerc. 19) tout intervalle ouvert $]a, b[$ ($a < b$) dans E est non vide (raisonnement du th. 4 de IV, p. 8).

b) Inversement, montrer que si E possède les propriétés α) et β) il est connexe. (Montrer d’abord que tout intervalle fermé $[a, b]$ est connexe : en supposant qu’il existe une partition de cet intervalle en deux ensembles fermés non vides A, B et que $a \in A$, considérer la borne inférieure de B et montrer qu’on arrive à une contradiction.)

c) Montrer que si E est connexe, il est localement compact et localement connexe, et que les seules parties connexes de E sont les intervalles (bornés ou non).