Bài tập 7, § 2

Cho $X$ là một tập hợp có thứ tự tuyến tính không rỗng, được trang bị tôpô $\mathfrak{T}_0(X)$.

a) Nếu $X$ liên thông, hãy chứng minh rằng nó có hai tính chất sau:

α) Mọi tập con không rỗng của $X$ bị chặn trên đều có cận trên lớn nhất (nếu $A$ là không rỗng và bị chặn trên, và nếu $B$ là tập hợp các cận trên của $A$, và $C$ là tập hợp các cận dưới của $B$, hãy chứng minh rằng $B \cup C = X$ và rằng $B$ và $C$ là đóng).

β) Tập hợp $X$ là không có khe hở, nói cách khác (Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 1, Bài tập 18) mọi khoảng mở $[a, b[\ (a < b)$ của $X$ đều không rỗng (dùng lập luận của Định lý 4).

b) Hãy chứng minh ngược lại rằng nếu $X$ có các tính chất α) và β), thì $X$ liên thông. (Trước hết hãy chứng minh rằng mọi khoảng đóng $[a, b]$ đều liên thông: giả sử rằng khoảng này là hợp rời nhau của hai tập hợp đóng không rỗng $A$ và $B$, và rằng $a \in A$, xét cận dưới lớn nhất của $B$ và từ đó thu được một mâu thuẫn).

c) Hãy chứng minh rằng nếu $X$ liên thông thì nó là compact địa phương và liên thông địa phương, và rằng các tập con liên thông duy nhất của $X$ là các khoảng (bị chặn hoặc không bị chặn).