Exercice 6, § 2

a) Soit $E$ un espace totalement ordonné non vide, muni de la topologie $\mathscr{T}_0(E)$ (I, p. 91, exerc. 5). Pour que $E$ soit compact il faut et il suffit que toute partie de $E$ admette une borne supérieure, autrement dit que $E$ soit achevé (E, III, p. 71, exerc. 11). (Pour montrer que la condition est nécessaire, raisonner comme pour le th. 3 de IV, p. 7; pour voir qu’elle est suffisante, considérer un filtre $\mathfrak{F}$ sur $E$ et montrer que, si $A$ est l’ensemble des bornes inférieures des ensembles de $\mathfrak{F}$, la borne supérieure de $A$ est un point adhérent à $\mathfrak{F}$.

b) Donner un exemple d’ensemble réticulé achevé E non compact pour la topologie $\mathscr{T}_0(E)$.