Bài tập 6, § 2

a) Cho $X$ là một tập hợp có thứ tự tuyến tính không rỗng, được trang bị tôpô $\mathfrak{T}_0(X)$ (Chương I, § 2, Bài tập 5). Chứng minh rằng $X$ là compact khi và chỉ khi mỗi tập con của $X$ có một cận trên nhỏ nhất, nói cách khác khi và chỉ khi $X$ là một dàn đầy đủ (Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 1, Bài tập 11). (Để chứng minh rằng điều kiện là cần thiết, lập luận như đối với Định lý 3; để chứng minh tính đủ, xét một bộ lọc $\mathfrak{F}$ trên $X$ và chứng minh rằng, nếu $A$ là tập hợp các cận dưới lớn nhất của các tập hợp của $\mathfrak{F}$, thì cận trên nhỏ nhất của $A$ là một điểm tụ của $\mathfrak{F}$).

b) Cho một ví dụ về một dàn đầy đủ $X$ không compact trong tôpô $\mathfrak{T}_0(X)$.