§ 2. Mesure des angles; fonctions trigonométriques

1. Le groupe multiplicatif U

2. Angles de demi-droites

Le corps $\mathbf{R}$ étant ordonné, nous orienterons le plan numérique $\mathbf{R}^2$ en prenant $\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2$ comme bivecteur positif ($\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$ étant les vecteurs de la base canonique);

dans le plan numérique orienté $\mathbf{R}^2$ (identifié à $\mathbf{C}$ dans ce qui suit), on peut alors définir l’angle $(\Delta_1, \Delta_2)$ d’un couple quelconque $(\Delta_1, \Delta_2)$ de demi-droites.[^1] L’ensemble $\mathscr{A}$ des angles de demi-droites est muni d’une structure de groupe commutatif (noté additivement), définie par

d’où en particulier, $(\Delta_1, \Delta_1) = 0, (\Delta_2, \Delta_1) = -(\Delta_1, \Delta_2)$.

L’angle plat $\overline{\omega}$ est la solution $\neq 0$ de l’équation $2\theta = 0$ dans $\mathscr{A}$; c’est l’angle que fait le demi-axe réel négatif avec le demi-axe réel positif.

Pour tout nombre complexe $z \neq 0$, on appelle amplitude de $z$, et l’on note $\mathrm{Am}(z)$, l’angle que fait avec le demi-axe réel positif la demi-droite d’origine 0 passant par $z$. L’application $z \mapsto \mathrm{Am}(z)$ est un homomorphisme du groupe multiplicatif $\mathbf{C}^*$ sur le groupe additif $\mathscr{A}$; on a donc

L’angle $\delta = \mathrm{Am}(i)$ s’appelle angle droit positif; c’est une des solutions, dans le groupe $\mathscr{A}$, de l’équation $2\theta = \overline{\omega}$, l’autre étant $-\delta = \delta + \overline{\omega}$.

L’homomorphisme $z \mapsto \mathrm{Am}(z)$, restreint au sous-groupe $\mathbf{U}$ de $\mathbf{C}^*$, est un isomorphisme de la structure de groupe de $\mathbf{U}$ sur celle de $\mathscr{A}$; si on transporte au groupe $\mathscr{A}$, par cet isomorphisme, la topologie de $\mathbf{U}$, $\mathscr{A}$ devient un groupe topologique compact, et l’homomorphisme $z \mapsto \mathrm{Am}(z)$ de $\mathbf{C}^*$ sur $\mathscr{A}$ est un morphisme strict du groupe topologique $\mathbf{C}^*$ sur le groupe topologique $\mathscr{A}$.

Désignons par $\theta \mapsto f(\theta)$ l’isomorphisme de $\mathscr{A}$ sur $\mathbf{U}$, réciproque de l’isomorphisme $z \mapsto \mathrm{Am}(z)$ de $\mathbf{U}$ sur $\mathscr{A}$. Par définition (A, IX, § 10, n° 3), $\Re(f(\theta))$ se note $\cos \theta$ et s’appelle cosinus de l’angle $\theta$, $\Im(f(\theta))$ se note $\sin \theta$ et s’appelle sinus de l’angle $\theta$. Ces fonctions sont continues dans le groupe topologique $\mathscr{A}$, et satisfont aux relations suivantes (loc. cit.), conséquences immédiates des définitions qui précèdent:

Par définition, la tangente $\mathrm{tg}(\theta)$ d’un angle $\theta \in \mathscr{A}$ est l’élément de $\tilde{\mathbf{R}}$, qui vaut $\sin \theta / \cos \theta$ lorsque $\theta \neq \delta$ et $\theta \neq -\delta$, et vaut $\infty$ lorsque $\theta = \delta$ ou $\theta = -\delta$.

La fonction tg est une application continue de $\mathfrak{A}$ dans $\tilde{\mathbf{R}}$; on a $\operatorname{tg}(\theta + \overline{\omega}) = \operatorname{tg} \theta$. On appelle cotangente de $\theta$, et on note cotg $\theta$, l’élément de $\tilde{\mathbf{R}}$ égal à $1/\operatorname{tg} \theta$.

On notera que, si $\operatorname{Am}(z) = \theta$, on a $z = |z| (\cos \theta + i \sin \theta)$; cette expression s’appelle la forme trigonométrique du nombre complexe $z \neq 0$.

3. Mesure des angles de demi-droites

D’après le th. 1 de VIII, p. 7, le groupe topologique $\mathfrak{A}$ des angles de demi-droites est isomorphe à $\mathbf{T}$. Tout morphisme strict de $\mathbf{R}$ sur $\mathfrak{A}$ s’obtient en composant l’isomorphisme $z \mapsto \operatorname{Am}(z)$ de $\mathbf{U}$ sur $\mathfrak{A}$ et un morphisme strict de $\mathbf{R}$ sur $\mathbf{U}$; si l’on pose $\vartheta(x) = \operatorname{Am}(\mathbf{e}(x))$, tout morphisme strict de $\mathbf{R}$ sur $\mathfrak{A}$ est donc de la forme $x \mapsto \vartheta(x/a)$ ($a \neq 0$). Étant donné un nombre $a > 0$, fixé une fois pour toutes, tout angle $\theta$ correspond, par l’homomorphisme $x \mapsto \vartheta(x/a)$, à une classe de nombres réels modulo $a$ (élément de $\mathbf{R}/a\mathbf{Z}$) qu’on appelle la mesure de $\theta$ relativement à la base $a$; par abus de langage, tout nombre réel de cette classe est appelé une mesure de $\theta$; l’angle $\vartheta(x/a)$ est l’angle de mesure $x$ (relativement à la base $a$). Si $x$ est une mesure de $\theta$, $x'$ une mesure de $\theta'$ (relativement à la même base), $x + x'$ est une mesure de $\theta + \theta'$, $-x$ une mesure de $-\theta$. On appelle parfois mesure principale d’un angle (relativement à base $a$) celle de ses mesures qui appartient à l’intervalle $[0, a[$.

Choix d’une base $a$. — On se borne toujours à considérer des bases $a > 1$. À chaque $a > 1$ correspond un angle de demi-droites $\omega = \vartheta(1/a)$ dont la mesure principale est 1, et qu’on appelle unité d’angle relative à la base $a$; réciproquement, pour tout angle $\omega \neq 0$, il existe un $a > 1$ et un seul tel que $\vartheta(1/a) = \omega$, donc la donnée de l’unité d’angle $\omega$ détermine entièrement la base $a > 1$. Lorsqu’on prend $a = 360$ l’unité d’angle correspondante s’appelle le degré. En Analyse, on utilise la base $a$ définie par la condition

Une fois choisie une base $a$, lorsqu’on parle d’un angle de demi-droites, on entend le plus souvent une mesure de cet angle relativement à la base $a$; cet abus de langage n’a pas d’inconvénient si (comme c’est toujours le cas tant qu’on ne fait pas de calculs numériques) la base $a$ reste fixe dans les raisonnements, et si l’on se souvient que deux nombres réels congrus mod. $a$ correspondent au même angle de demi-droites.

Par exemple, ce qu’on entendra le plus souvent par amplitude d’un nombre complexe $z \neq 0$, sera une mesure en radians de cet angle, fixée par des conventions qui dépendront de la question étudiée; une fois ces conventions faites, on notera encore $\operatorname{Am}(z)$ la mesure de l’amplitude ainsi choisie.

4. Fonctions trigonométriques

Si on compose les fonctions cos θ, sin θ, tg θ, cotg θ (définies dans $\mathfrak{A}$) avec l’homomorphisme $x \mapsto \vartheta(x/a)$ de $\mathbf{R}$ sur $\mathfrak{A}$, les fonctions cos $\vartheta(x/a)$, sin $\vartheta(x/a)$, tg $\vartheta(x/a)$, cotg $\vartheta(x/a)$ ainsi obtenues s’appellent respectivement cosinus, sinus, tangente et cotangente du nombre $x$ relatifs à la base $a$, et se notent $\cos_a x$, $\sin_a x$, $\tg_a x$, et $\cotg_a x$. L’application $x \mapsto \cos_a x + i \sin_a x$ est composée de $\theta \mapsto \cos \theta + i \sin \theta$ et de $x \mapsto \vartheta(x/a)$, d’où, en vertu de la définition de cos θ et sin θ (VIII, p. 9), l’identité

qui équivaut à

et aussi, d’après (4), à

On en conclut les identités

Lorsqu’on choisit la base $a = 2\pi$ dont il a été question plus haut on note simplement cos $x$, sin $x$, tg $x$, cotg $x$ les fonctions cos$_{2\pi} x$, sin$_{2\pi} x$, tg$_{2\pi} x$, cotg$_{2\pi} x$. Les formules (6) permettent d’ailleurs d’en déduire les valeurs des fonctions trigonométriques relatives à une base quelconque.

Les relations rappelées plus haut entre cosinus et sinus d’angles donnent évidemment les mêmes relations entre cosinus et sinus des nombres qui mesurent ces angles; en particulier, on a

Les fonctions cos$_a x$ et sin$_a x$ sont continues dans $\mathbf{R}$, et périodiques de période $a$; $a$ est d’ailleurs période principale de ces fonctions; en effet, la relation cos$_a x = \cos_a y$ entraîne sin$_a x = \sin_a y$ ou sin$_a x = -\sin_a y$, c’est-à-dire $\mathbf{e}(x/a) = \mathbf{e}(y/a)$ ou $\mathbf{e}(x/a) = \mathbf{e}(-y/a)$, donc $x \equiv y$ (mod. $a$) ou $x \equiv -y$ (mod. $a$); on voit de même que sin$_a x = \sin_a y$ est équivalente à $x \equiv y$ (mod. $a$) ou $x + y \equiv \frac{1}{2}a$ (mod. $a$).

Il résulte de ce qui précède que $\cos_a x$ ne prend jamais deux fois la même valeur dans l’intervalle $(0, \frac{1}{2}a)$; restreinte à cet intervalle, c’est donc une application bijective de cet intervalle sur l’intervalle $(-1, +1)$. Comme $\cos_a 0 = 1$, $\cos_a (\frac{1}{2}a) = -1$, $x \mapsto \cos_a x$ est une application strictement décroissante de $(0, \frac{1}{2}a)$ sur $(-1, 1)$ (IV, p. 9 et 10, th. 5 et Remarque). On a $\cos_a x = 0$ pour $x = a/4$, $\cos_a x > 0$ pour $0 \leq x < a/4$, $\cos_a x < 0$ pour $a/4 < x \leq a/2$. Comme $\cos_a(-x) = \cos_a x$, on en déduit la variation de $\cos_a x$ dans l’intervalle $(-\frac{1}{2}a, 0)$, puis dans tout $\mathbf{R}$ par périodicité (fig. 8). Comme $\sin_a x = -\cos_a(x + a/4)$, on en déduit la variation de $\sin_a x$ dans $\mathbf{R}$ (fig. 8).

!Figure 8

Figure 8

La fonction $\tg_a x$ est une application continue de $\mathbf{R}$ sur $\overline{\mathbf{R}}$; elle prend la valeur $\infty$ pour les valeurs $a/4 + k(a/2)$ ($k$ entier quelconque). Comme elle admet pour période $\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a$ en est une période principale. Dans l’intervalle $(0, a/4)$, $\sin_a x$ croît de 0 à 1, $\cos_a x$ décroît de 1 à 0, donc $\tg_a x$ est strictement croissante dans $(0, a/4)$, et applique $(0, a/4)$ sur $(0, +\infty)$; on en conclut que $\tg_a x$ est strictement croissante dans $]-a/4, +a/4[$, et est un homéomorphisme de cet intervalle sur $\mathbf{R}$ (fig. 9).

!Figure 9

Figure 9

5. Secteurs angulaires

Étant données deux demi-droites fermées distinctes $\Delta_1, \Delta_2$ d’origine 0, soit $x$ la mesure principale de l’angle $(\Delta_1, \Delta_2)$ (relative à une base $a$ choisie une fois pour toutes). La réunion des demi-droites fermées (resp. ouvertes) $\Delta$ d’origine 0 telles que la mesure principale $y$ de l’angle $(\Delta_1, \Delta)$ satisfasse à $0 \leq y \leq x$ (resp. $0 < y < x$) est identique au secteur angulaire fermé (resp. ouvert) S d’origine $\Delta_1$ et d’extrémité $\Delta_2$, défini en Algèbre (A, IX, § 10, n° 4).

!Figure 10

En effet, par une rotation, on peut toujours se ramener au cas où S ne contient pas la demi-droite passant par le point –1. Si $\alpha$ et $\beta$ sont les angles que font alors $\Delta_1$ et $\Delta_2$ respectivement avec le demi-axe réel positif, le secteur angulaire fermé S n’est autre (A, IX, § 10, n° 4, prop. 12) que la réunion des demi-droites fermées $\Delta$ faisant avec le demi-axe réel positif un angle $\theta$ tel que

Or, si $u, v, t$ sont les mesures de $\alpha, \beta, \theta$ respectivement, contenues dans l’intervalle $] -a/2, +a/2[$, ces inégalités équivalent à $\tg_a u/2 \leq \tg_a t/2 \leq \tg_a v/2$, et comme $\tg_a x$ est une fonction croissante dans $] -a/4, +a/4[$, elles équivalent aussi à $u \leq t \leq v$ ou à $0 \leq t - u \leq v - u$; comme $x = v - u, y = t - u$, la proposition est démontrée pour les secteurs angulaires fermés; on raisonne de même pour les secteurs angulaires ouverts.

Un secteur angulaire fermé est un ensemble fermé dans $\mathbf{R}^2$; le secteur angulaire ouvert de même origine et même extrémité est son intérieur dans $\mathbf{R}^2$ (VI, p. 10, prop. 3). L’angle $(\Delta_1, \Delta_2)$ de mesure principale $x$, s’appelle l’ouverture du secteur S; S est dit saillant si $x < \frac{1}{2}a$, plat (ou demi-plan fermé) si $x = \frac{1}{2}a$, rentrant si $x > \frac{1}{2}a$; un secteur angulaire saillant est dit aigu si $x < a/4$, droit (ou quadrant) si $x = a/4$, obtus si $x > a/4$. La bissectrice du secteur S n’est autre que la demi-droite $\Delta$ faisant avec $\Delta_1$ un angle $y = \frac{1}{2}x$.

Deux demi-droites fermées distinctes $\Delta_1, \Delta_2$ définissent deux secteurs angulaires fermés : celui d’origine $\Delta_1$ et d’extrémité $\Delta_2$, et celui d’origine $\Delta_2$ et d’extrémité $\Delta_1$; leur réunion est le plan numérique $\mathbf{R}^2$, leur intersection est la réunion de $\Delta_1$ et $\Delta_2$.

6. Angles de droites

On a aussi défini en Algèbre (A, IX, § 10, n° 3) la notion d’angle d’un couple de deux droites dans un espace vectoriel à deux dimensions sur un corps ordonné maximal¹ ; cette définition s’applique en particulier au plan numérique $\mathbf{R}^2$. L’ensemble $\mathscr{A}_0$ des angles de droites est muni d’une structure de groupe commutatif (noté additivement), définie par

d’où en particulier

L’angle droit $\delta_0$ est la solution $\neq 0$ de l’équation $2\theta = 0$ dans $\mathscr{A}_0$; c’est l’angle que fait l’axe imaginaire avec l’axe réel.

On définit un homomorphisme canonique $\varphi$ du groupe $\mathscr{A}$ des angles de demi-droites sur le groupe $\mathscr{A}_0$ des angles de droites en faisant correspondre, à l’angle que fait une demi-droite $\Delta$ avec le demi-axe réel positif, l’angle que fait la droite D contenant $\Delta$ avec l’axe réel (A, IX, § 10, n° 1, cor. de la prop. 3); un angle de droites $\theta_0$ est l’image par $\varphi$ de deux angles de demi-droites $\theta, \theta + \overline{\omega}$; autrement dit, $\mathscr{A}_0$ est isomorphe au groupe quotient de $\mathscr{A}$ par le sous-groupe $\{0, \overline{\omega}\}$. Si on transporte à $\mathscr{A}_0$ la topologie du groupe quotient $\mathscr{A}/\{0, \overline{\omega}\}$ (par l’homomorphisme bijectif associé à $\varphi$), $\mathscr{A}_0$ devient un groupe topologique compact, $\varphi$ un morphisme strict de $\mathscr{A}$ sur $\mathscr{A}_0$.

Si on compose l’homomorphisme $\varphi$ de $\mathscr{A}$ sur $\mathscr{A}_0$ et l’homomorphisme $x \mapsto \vartheta(x/a)$ de $\mathbf{R}$ sur $\mathscr{A}$ on obtient un homomorphisme $x \mapsto \vartheta_0(x/a)$ de $\mathbf{R}$ sur $\mathscr{A}_0$; tout angle $\theta_0 \in \mathscr{A}_0$ correspond, par cet homomorphisme, à une classe de nombres réels mod. $\frac{1}{2}a$, qu’on appelle encore mesure de $\theta_0$ (relativement à la base $a$); par abus de langage, tout nombre de cette classe est aussi appelé une mesure de $\theta_0$, et celui qui appartient à $[0, a/2[$ la mesure principale de $\theta_0$; l’angle $\vartheta_0(x/a)$ est l’angle de droites de mesure $x$. Toute mesure de $\theta_0$ est aussi une mesure d’un des deux angles de demi-droites $\theta, \theta + \overline{\omega}$ dont $\theta_0$ est l’image par l’homomorphisme $\varphi$.

¹ Rappelons que, dans l’ensemble des couples $(D_1, D_2)$ de droites non isotropes, on définit une relation d’équivalence en considérant deux couples $(D_1, D_2)$ et $(D'_1, D'_2)$ comme équivalents, s’il existe une même similitude directe qui transforme $D_1$ en $D'_1$ et $D_2$ en $D'_2$; l’angle du couple $(D_1, D_2)$ est la classe d’équivalence de ce couple.

Ici encore, une fois choisie la base $a$, lorsqu’on parle d’un angle de droites, on entend le plus souvent, par abus de langage, une mesure de cet angle relativement à la base $a$.

Exercices

See the exercises for § 2.

[^1]: Rappelons (A, IX, § 10, n° 3) qu’on définit, dans l’ensemble des couples $(\Delta_1, \Delta_2)$ de demi-droites d’origine 0, une relation d’équivalence, en considérant deux couples $(\Delta_1, \Delta_2)$ et $(\Delta'_1, \Delta'_2)$ comme équivalents s’il existe une même rotation qui transforme $\Delta_1$ en $\Delta'_1$ et $\Delta_2$ en $\Delta'_2$; l’angle du couple $(\Delta_1, \Delta_2)$ (ou angle que fait $\Delta_2$ avec $\Delta_1$) est par définition la classe d’équivalence de ce couple.