Considérons d’abord un intervalle ouvert borné $I = ]a, b[ \quad (a < b)$. Posons, pour $x \in I, f(x) = -\left( \frac{1}{x-a} + \frac{1}{x-b} \right)$. Cette fonction est continue et strictement croissante dans $I$, car on a vu que $\frac{1}{x-b}$ est strictement décroissante dans $]-\infty, b[$ et $\frac{1}{x-a}$ strictement décroissante dans $]a, +\infty[$. Il en résulte que $f$ est un homéomorphisme de $I$ sur un intervalle $f(I)$ de $\mathbf{R}$ (IV, p. 9, th. 5); $f(I)$ n’est borné ni supérieurement, ni inférieurement, car si on avait par exemple $f(x) \leq c$ quel que soit $x \in I$, on en tirerait, puisque $b-x > 0, 1 - \frac{b-x}{x-a} \leq c(b-x)$, d’où contradiction dès que $x$ est suffisamment voisin de $b$ (en vertu de la continuité des deux membres, qui sont des fonctions rationnelles, au point $b$). Donc $f(I) = \mathbf{R}$, ce qui établit que tout intervalle ouvert borné est homéomorphe à $\mathbf{R}$. Soit $g$ l’application réciproque de $f$; elle applique tout intervalle ouvert illimité de $\mathbf{R}$ sur un intervalle $J$ contenu dans $I$ et ouvert par rapport à $I$. Puisque $I$ est ouvert dans $\mathbf{R}$, $J$ est lui-même ouvert dans $\mathbf{R}$; comme il est borné, il est homéomorphe à $\mathbf{R}$, ce qui démontre que tout intervalle ouvert illimité est homéomorphe à $\mathbf{R}$.

En effet, soit d’abord $f$ un homéomorphisme croissant. Si on prolonge $f$ à $\overline{\mathbf{R}}$ en posant $\tilde{f}(-\infty) = a, \tilde{f}(+\infty) = b$, il est immédiat que $\tilde{f}$ est une application strictement croissante (donc bijective) de $\overline{\mathbf{R}}$ sur $[a, b]$. Elle applique donc tout intervalle ouvert de $\overline{\mathbf{R}}$ sur un intervalle ouvert par rapport à $[a, b]$, donc est un homéomorphisme de $\mathbf{R}$ sur $[a, b]$, en vertu de la déf. 1, et de la prop. 5 de IV, p. 5.

Si $f$ est décroissant, on appliquera ce qui précède à l’homéomorphisme croissant $x \mapsto -f(x)$ de $\mathbf{R}$ sur $]-b, -a[$.

Toutes les propriétés de l’intervalle $[a, b]$, obtenues au § 2, qui ne font intervenir que la structure d’ordre et la topologie de cet intervalle, se transportent donc à $\overline{\mathbf{R}}$, d’où les propositions suivantes:

Il existe donc (II, p. 27, th. 1) une structure uniforme et une seule compatible avec la topologie de $\overline{\mathbf{R}}$; cette structure est isomorphe à la structure uniforme induite sur $[a, b]$ par la structure uniforme additive de $\mathbf{R}$. Mais il faut remarquer que la structure uniforme induite sur $\mathbf{R}$ par celle de $\overline{\mathbf{R}}$ (structure qui est compatible avec la topologie de la droite numérique) n’est pas la structure uniforme additive de $\mathbf{R}$; car pour cette dernière $\mathbf{R}$ est un espace complet, alors que $\mathbf{R}$ n’est pas un sous-espace complet de $\overline{\mathbf{R}}$, puisque $\mathbf{R}$ n’est pas fermé dans $\overline{\mathbf{R}}$.

La borne supérieure (resp. inférieure) d’une partie non vide $A$ de $\overline{\mathbf{R}}$ se note $\sup A$ (resp. $\inf A$). On a évidemment (1)

Si $A \subset B$, $\sup A \leq \sup B$ et $\inf A \geq \inf B$ (E, III, p. 10, prop. 4).

Enfin, les fonctions $\sup(x, y)$ et $\inf(x, y)$ sont continues dans $\overline{\mathbf{R}} \times \overline{\mathbf{R}}$.

Montrons par exemple que, lorsque $(x, y)$ tend vers le point $(a, +\infty)$ ($a \neq -\infty$), en restant dans $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$, $x + y$ tend vers $+\infty$. En effet, il existe un nombre fini $b < a$, et l’intervalle $]b, +\infty]$ est un voisinage de $a$ dans $\overline{\mathbf{R}}$; quel que soit $c$ fini, les relations $x > b, y > c - b$ entraînent $x + y > c$, ce qui montre que $x + y$ est aussi voisin qu’on veut de $+\infty$ lorsque $(x, y)$ est assez voisin de $(a, +\infty)$. On raisonne de même dans les autres cas.

Par contre $x + y$ n’a pas de limite aux points $(- \infty, +\infty)$ et $(+\infty, -\infty)$ de $\overline{\mathbf{R}} \times \overline{\mathbf{R}}$; en effet, si $x + y$ avait une limite $k$ (finie ou infinie) lorsque $(x, y)$ tend vers $(+\infty, -\infty)$ en restant dans $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$, il en résulterait que, pour tout $a$ fini, la fonction $(x + a) - x$ tendrait vers $k$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ en restant dans $\mathbf{R}$, ce qui est absurde, puisque $(x + a) - x = a$, et que $a$ est arbitraire.

La fonction $x + y$ applique $A' \times A'$ (resp. $A'' \times A''$) dans $A'$ (resp. $A''$). C’est donc une loi de composition dans $A'$ (resp. $A''$) qui prolonge l’addition dans $\mathbf{R}$; en vertu du principe de prolongement des identités (I, p. 53, cor. 1), cette loi est commutative et associative; 0 est élément neutre pour cette loi; le seul élément de A' non simplifiable (A, I, p. 15) est $+\infty$, d’après les formules (2).

Si $x, y, z, t$ sont des points de $\overline{\mathbf{R}}$ tels que $x \leq y$ et $z \leq t$, on a $x + z \leq y + t$ lorsque les deux membres de cette inégalité sont définis.

On notera que, dans $\overline{\mathbf{R}}$, la relation $x < y$ n’entraîne $x + z < y + z$ que lorsque $z$ est fini, d’après les formules (2); on vérifie aisément que les relations $x < y$ et $z < t$ entraînent encore $x + z < y + t$ lorsque les deux membres de cette inégalité ont un sens.

On pose encore, dans $\overline{\mathbf{R}}$, $x^+ = \sup(x, 0)$, $x^- = \sup(-x, 0)$, $|x| = \sup(x, -x)$; on a donc $(+\infty)^+ = (-\infty)^- = +\infty$, $(+\infty)^- = (-\infty)^+ = 0$,

Les sommes $x^+ - x^-$ et $x^+ + x^-$ ont un sens quel que soit $x \in \overline{\mathbf{R}}$, et valent donc respectivement $x$ et $|x|$ d’après le principe de prolongement des identités. En outre, chaque fois que la somme $x + y$ est définie, on a $|x + y| \leq |x| + |y|$.

On notera par contre que les formules (6) et (7) de IV, p. 2, peuvent cesser d’avoir un sens pour certaines valeurs de $x$ et $y$ dans $\overline{\mathbf{R}}$; par exemple, pour $x = -\infty$, $y = 0$, on a $\sup(x, y) = 0$, mais la somme $x + (y - x)^+$ n’est pas définie, car $(y - x)^+ = +\infty$.

Désignons maintenant par $\overline{\mathbf{R}}^*$ le complémentaire de 0 dans $\overline{\mathbf{R}}$; l’analogue de la prop. 7 pour la multiplication est la suivante:

Nous laissons au lecteur la démonstration de cette proposition, qui est analogue à celle de la prop. 7.

On voit de même que $xy$ n’a pas de limite aux points $(0, +\infty)$, $(+\infty, 0)$, $(0, -\infty)$, $(- \infty, 0)$ de $\overline{\mathbf{R}} \times \overline{\mathbf{R}}$.

La fonction $xy$ est une loi de composition dans $\overline{\mathbf{R}}^*$, prolongeant la multiplication dans $\mathbf{R}^*$; cette loi est associative et commutative (principe de prolongement des identités); elle admet 1 pour élément unité; les éléments non simplifiables dans $\overline{\mathbf{R}}^*$ sont $+\infty$ et $-\infty$.

Si $x \leq y$ et $z > 0$, on a $xz \leq yz$ lorsque les deux membres de cette inégalité sont définis; lorsque le produit $xy$ a un sens, il en est de même de $|x|.|y|$, et on a $|xy| = |x|.|y|$.

Enfin, la formule de distributivité

est encore valable, en vertu du principe de prolongement des identités, lorsque toutes les opérations qui figurent aux deux membres sont définies.

On notera que le premier membre de (4) peut avoir un sens sans que le second soit défini ; il suffit de considérer par exemple le cas où $x = +\infty, y = 2, z = -1$. Il faut donc n’user qu’avec précaution de la formule de distributivité dans $\overline{\mathbf{R}}$.

Enfin, pour tout $\varepsilon > 0$, la relation $|x| \geq \varepsilon$ entraîne $|1/x| \leq \varepsilon$, donc la fonction $1/x$, définie dans $\mathbf{R}^*$, a pour limite 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$; elle se prolonge donc par continuité à $\overline{\mathbf{R}}^*$.