Trước hết xét một khoảng mở bị chặn $I = ]a, b[$ ($a < b$). Với mỗi $x \in I$ đặt $f(x) = -\left( \frac{1}{x-a} + \frac{1}{x-b} \right)$. Hàm này liên tục và tăng ngặt trên $I$, vì ta đã thấy rằng $\frac{1}{x-b}$ là giảm nghiêm ngặt trong $]-, b[$ và $\frac{1}{x-a}$ giảm nghiêm ngặt trong $]a, \to[$. Suy ra rằng $f$ là một phép đồng phôi của $I$ lên một khoảng $f(I)$ của $\mathbf{R}$ (§ 2, no. 6, Định lý 5). $f(I)$ không bị chặn trên cũng không bị chặn dưới; chẳng hạn, nếu ta có $f(x) \leq c$ với mọi $x \in I$, thì sẽ suy ra rằng $1 - \frac{b-x}{x-a} \leq c(b-x)$, vì $b-x > 0$; và điều này dẫn đến một mâu thuẫn khi $x$ đủ gần $b$ (do tính liên tục của hai vế của bất đẳng thức, vốn là các hàm hữu tỉ, tại điểm $b$). Do đó $f(I) = \mathbf{R}$, và vì vậy mọi khoảng mở bị chặn đều đồng phôi với $\mathbf{R}$. Gọi $g$ là hàm nghịch đảo của $f$: nó biến mọi khoảng mở không bị chặn của $\mathbf{R}$ lên một khoảng $J$ được chứa trong $I$ và mở trong $I$. Vì $I$ mở trong $\mathbf{R}$, $J$ cũng mở trong $\mathbf{R}$; vì nó bị chặn, nó đồng phôi với $\mathbf{R}$; và do đó ta đã chứng minh rằng mọi khoảng mở không bị chặn đều đồng phôi với $\mathbf{R}$.

Cho $f$ là một song ánh tôpô tăng. Nếu ta mở rộng $f$ lên $\mathbf{R}$ bằng cách đặt $\overline{f}(-\infty) = a$ và $\overline{f}(+\infty) = b$, thì hiển nhiên $\overline{f}$ là một ánh xạ tăng ngặt (và do đó là một song ánh) của $\overline{\mathbf{R}}$ lên $[a, b]$. Do đó $\overline{f}$ ánh xạ mọi khoảng mở của $\overline{\mathbf{R}}$ lên một khoảng mở đối với $[a, b]$, và vì thế là một song ánh tôpô từ $\mathbf{R}$ lên $[a, b]$ do Định nghĩa 1 và Mệnh đề 5 của § 1, no. 4.

Nếu $f$ giảm, ta áp dụng điều đã được chứng minh cho đồng phôi tăng $x \to -f(x)$ từ $\mathbf{R}$ lên ]$-b, -a[$.

Do đó, mọi tính chất của khoảng $[a, b]$ thu được trong § 2, chỉ liên quan đến cấu trúc thứ tự và tôpô của khoảng, đều có thể được chuyển sang $\overline{\mathbf{R}}$; vì thế có các mệnh đề sau:

Vì thế (Chương II, § 4, no. 1, Định lý 1) có một cấu trúc đều duy nhất trên $\overline{\mathbf{R}}$ tương thích với tôpô của nó; cấu trúc đều này đẳng cấu với cấu trúc đều cảm sinh trên $[a, b]$ bởi cấu trúc đều cộng tính của $\mathbf{R}$. Nhưng cần chú ý rằng cấu trúc đều cảm sinh trên $\mathbf{R}$ bởi cấu trúc đều của $\overline{\mathbf{R}}$ không phải là cấu trúc đều cộng tính của $\mathbf{R}$ (mặc dù nó tương thích với tôpô của đường thẳng thực); thật vậy, $\mathbf{R}$ là một không gian đầy đủ đối với cấu trúc đều cộng tính của nó, nhưng không phải là một không gian con đầy đủ của $\overline{\mathbf{R}}$, vì nó không đóng trong $\overline{\mathbf{R}}$.

Cận trên bé nhất (tương ứng, cận dưới lớn nhất) của một tập con không rỗng $A$ của $\mathbf{R}$ được ký hiệu là $\sup A$ (tương ứng, $\inf A$). Rõ ràng

(1)

Nếu $A \subset B$, thì $\sup A \leq \sup B$ và $\inf A \geq \inf B$ (Lý thuyết tập hợp, Chương III, § 1, no. 9, Mệnh đề 4).

Cuối cùng, các hàm $\sup(x, y)$ và $\inf(x, y)$ là liên tục trên $\overline{\mathbf{R}} \times \overline{\mathbf{R}}$.

Chẳng hạn, hãy chứng minh rằng khi $(x, y)$ tiến tới điểm $(a, +\infty)$ ($a \neq -\infty$) trong khi vẫn thuộc $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$, thì $x + y$ tiến tới $+\infty$. Tồn tại một số hữu hạn $b < a$, và khoảng $]b, +\infty[$ là một lân cận của $a$ trong $\mathbf{R}$; với mọi $c$ hữu hạn, các quan hệ $x > b$ và $y > c - b$ kéo theo $x + y > c$, và điều này chứng minh rằng $x + y$ gần $+\infty$ tùy ý miễn là $(x, y)$ đủ gần $(a, +\infty)$. Lập luận cũng tương tự trong các trường hợp khác.

Ngược lại, $x + y$ không có giới hạn tại các điểm $(-\infty, +\infty)$ và $(+\infty, -\infty)$ của $\overline{\mathbf{R}} \times \overline{\mathbf{R}}$. Thật vậy, nếu $x + y$ có giới hạn $k$ (hữu hạn hoặc vô hạn) khi $(x, y)$ tiến tới $(+\infty, -\infty)$ trong khi vẫn thuộc $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$, thì sẽ suy ra rằng, với mỗi $a$ hữu hạn, hàm $(x + a) - x$ sẽ tiến tới $k$ khi $x$ tiến tới $+\infty$ trong khi vẫn thuộc $\mathbf{R}$; và điều này là phi lý, vì $(x + a) - x = a$ và $a$ là tùy ý.

Nếu $x, y, z, t$ là các điểm của $\overline{\mathbf{R}}$ sao cho $x \leq y$ và $z \leq t$, thì $x + z \leq y + t$ mỗi khi hai vế của bất đẳng thức này đều xác định.

Chú ý rằng trong $\overline{\mathbf{R}}$ quan hệ $x < y$ chỉ kéo theo $x + z < y + z$ nếu $z$ hữu hạn, theo các công thức (2); dễ dàng kiểm tra rằng các quan hệ $x < y$ và $z < t$ kéo theo $x + z < y + t$ mỗi khi hai vế của bất đẳng thức này đều xác định.

Trong $\overline{\mathbf{R}}$ ta đặt $x^+ = \sup (x, 0), x^- = \sup (-x, 0), |x| = \sup (x, -x)$; do đó $(+\infty)^+ = (-\infty)^- = +\infty$ và $(+\infty)^- = (-\infty)^+ = 0$, và $|+\infty| = |- \infty| = +\infty$. Các tổng $x^+ - x^-$ và $x^+ + x^-$ được xác định với mọi $x \in \overline{\mathbf{R}}$ và bởi vậy lần lượt bằng $x$ và $|x|$ theo nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức. Ngoài ra, mỗi khi tổng $x + y$ được xác định, ta có $|x + y| \leq |x| + |y|$.

Chú ý ngược lại rằng các công thức (6) và (7) của § 1, no. 1 có thể không còn có nghĩa đối với một số giá trị của $x$ và $y$ trong $\overline{\mathbf{R}}$; chẳng hạn, nếu $x = -\infty$ và $y = 0$ thì ta có $\sup (x, y) = 0$, nhưng tổng $x + (y - x)^+$ không được xác định, vì $(y - x)^+ = +\infty$.

Ký hiệu $\overline{\mathbf{R}}^*$ là phần bù của o trong $\overline{\mathbf{R}}$. Khi đó, tương tự của Mệnh đề 7 đối với phép nhân được phát biểu như sau:

(3)

Chúng tôi để chứng minh cho người đọc; nó tương tự với chứng minh của Mệnh đề 7.

Tương tự, ta thấy rằng $xy$ không có giới hạn tại các điểm $(0, +\infty), (+\infty, 0), (0, -\infty), (-\infty, 0)$ của $\overline{\mathbf{R}} \times \overline{\mathbf{R}}$.

Hàm $xy$ là một luật hợp thành trên $\overline{\mathbf{R}}^*$ mở rộng luật phép nhân trên $\mathbf{R}$; luật này là kết hợp và giao hoán (nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức); nó có 1 làm phần tử đơn vị; và các phần tử không chính quy trong $\overline{\mathbf{R}}^*$ là $+\infty$ và $-\infty$.

Nếu $x \leq y$ và $z > 0$ thì ta có $xz \leq yz$ bất cứ khi nào hai vế của bất đẳng thức này đều được xác định. Nếu tích $xy$ được xác định, thì $|x| \cdot |y|$ cũng được xác định và ta có $|xy| = |x| \cdot |y|$.

Cuối cùng, công thức phân phối

vẫn còn đúng, theo nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức, bất cứ khi nào mọi phép toán xuất hiện ở một trong hai vế đều được xác định.

Chú ý rằng có thể xảy ra trường hợp vế trái của (4) được xác định trong khi vế phải thì không: chẳng hạn, xét trường hợp $x = +\infty$, $y = 2$ và $z = -1$. Vì vậy, công thức phân phối cần được dùng một cách thận trọng trong $\overline{\mathbf{R}}$.