3. Trường số thực

1. Phép nhân trong $\mathbf{R}$

Tôpô của đường thẳng hữu tỉ $\mathbf{Q}$ không những tương thích với cấu trúc nhóm cộng, mà còn với cấu trúc trường của $\mathbf{Q}$. Thật vậy, hàm $xy$ liên tục tại $(0, 0) \in \mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$, vì với mỗi số nguyên $n > 0$, các quan hệ $|x| \leq 1/n$ và $|y| \leq 1/n$ cùng nhau kéo theo $|xy| \leq 1/n^2 \leq 1/n$; mặt khác, nếu $a$ là một số hữu tỉ khác không bất kỳ, thì hàm $ax$ liên tục tại $x = 0$, vì với mỗi số nguyên $n > 0$, quan hệ $|x| \leq 1/|n|a|$ kéo theo $|ax| \leq 1/n$. Điều đó cho thấy $xy$ liên tục tại mọi điểm của $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ (Chương III, § 6, no. 3).

Để chứng minh rằng $1/x$ liên tục trên $\mathbf{Q}^*$, ta sẽ thiết lập chính xác hơn rằng $1/x$ là liên tục đều (đối với cấu trúc cộng tính) trong phần bù của mọi lân cận V của 0. Cụ thể, ta có

2. Nhóm nhân $\mathbf{R}^*$

Ta biết từ Chương III, § 6, no. 7, rằng tôpô cảm sinh trên $\mathbf{R}^*$ bởi tôpô của đường thẳng thực là tương thích với cấu trúc nhóm nhân của $\mathbf{R}^*$; vì $\mathbf{R}^*$ là một tập con mở của không gian compact địa phương $\mathbf{R}$, suy ra $\mathbf{R}^*$ là một nhóm tôpô compact địa phương (Chương I, § 9, no. 7, Mệnh đề 13) và do đó đầy đủ (Chương III, § 3, no. 3, Hệ quả 1 của Mệnh đề 4; điều này cũng suy ra từ Chương III, § 6, no. 8, Mệnh đề 8); dĩ nhiên, tính chất sau này liên quan đến cấu trúc đều nhân trên $\mathbf{R}^*$ chứ không phải cấu trúc đều cảm sinh trên $\mathbf{R}^*$ bởi cấu trúc đều cộng tính của $\mathbf{R}$.

Hàm $xy$ ánh xạ tập hợp $\mathbf{Q}_+ \times \mathbf{Q}_+$ vào $\mathbf{Q}_+$, và do đó nó ánh xạ $\mathbf{R}_+ \times \mathbf{R}_+$ vào $\mathbf{R}_+$ (Chương I, § 2, no. 1, Định lý 1); nói cách khác, tích của hai số thực $\geqslant 0$ là $\geqslant 0$. Khi đó các công thức $(-x)y = -xy$ và $(-x)(-y) = xy$ cho thấy rằng tích của một số $\geqslant 0$ và một số $\leqslant 0$ là $\leqslant 0$, và rằng tích của hai số $\leqslant 0$ là $\geqslant 0$; từ đó suy ra rằng

(điều này cũng có thể thu được bằng cách mở rộng quan hệ tương ứng trên $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$).

Nếu $x > 0$ và $y > 0$ thì ta có $xy \neq 0$, và do đó $xy > 0$; tương tự, nếu $x < 0$ và $y > 0$ thì $xy < 0$; và nếu $x < 0$ và $y < 0$ thì $xy > 0$. Đặc biệt, nếu $x \neq 0$ thì ta có $x^2 > 0$, vì thế một tổng các bình phương của các số thực không thể bằng không trừ khi mỗi số đó đều bằng không.

Nếu $x > 0$ và $y \leqslant z$ (tương ứng $y < z$) thì ta có $xy \leqslant xz$ (tương ứng $xy < xz$), nói cách khác, một phép vị tự có tỉ số $> 0$ bảo toàn thứ tự trên $\mathbf{R}$. Vì $(-x)y = -xy$, một phép vị tự có tỉ số $< 0$ biến thứ tự trên $\mathbf{R}$ thành thứ tự đối.

Nếu $x > 0$ thì ta có $1/x > 0$, vì $x.(1/x) = 1 > 0$. Nếu $0 < x < y$ thì ta có $xy > 0$, do đó $x.(1/xy) < y.(1/xy)$, tức là $1/y < 1/x$. Suy ra ánh xạ $x \to 1/x$ của tập hợp $\mathbf{R}_+^*$ các số thực $> 0$ lên chính nó là giảm nghiêm ngặt.

Ta cũng thấy theo cùng cách rằng hàm $1/x$ giảm nghiêm ngặt trên ]$\leftarrow, 0[$, và do đó hàm $\frac{1}{x-a}$ giảm nghiêm ngặt trên mỗi khoảng ]$\leftarrow, a[$ và $]a, \to[$.

Từ những điều đi trước suy ra rằng $\mathbf{R}_+^*$ là một nhóm con của nhóm nhân $\mathbf{R}^*$; hơn nữa, quan hệ thứ tự $x \leq y$ tương thích với cấu trúc nhóm nhân của $\mathbf{R}_+^*$; nói cách khác, $\mathbf{R}_+^*$ là một nhóm có thứ tự toàn phần.

Sự kiện rằng tích của hai số thực $\geq 0$ lại là $\geq 0$ có thể được diễn đạt bằng cách nói rằng $\mathbf{R}$ là một trường có thứ tự: mọi tính chất trên đây đều chung cho mọi trường có thứ tự.

3. Căn bậc n

Cho $n$ là một số nguyên bất kỳ $> 0$. Từ quan hệ $0 < x < y$ ta suy ra, bằng quy nạp theo $n$, rằng $0 < x^n < y^n$. Nói cách khác, hàm $x \to x^n$ là tăng ngặt với $x \geq 0$; nó rõ ràng liên tục tại mọi điểm và vì thế (§ 2, no. 6, Định lý 5) là một đồng phôi từ $\mathbf{R}_+$ lên một khoảng $I$. Mặt khác, vì $x \geqslant 1$ kéo theo $x^{n-1} \geqslant 1$ và do đó $x^n \geqslant x$, nên suy ra $I$ không bị chặn và vì thế $I = \mathbf{R}_+$. Giá trị, với $x \geqslant 0$, của ánh xạ nghịch đảo của ánh xạ $x \to x^n$ được ký hiệu bởi $x^{1/n}$ hoặc $\sqrt[n]{x}$ và được gọi là $x$ lũy thừa $1/n$ hoặc căn bậc n của $x$ (với $n = 2, 3$ ta nói căn bậc hai, căn bậc ba; với $n = 2$ ta viết $\sqrt{x}$ thay cho $\sqrt[2]{x}$). Vì vậy, số dương $x^{1/n}$ được định nghĩa là nghiệm dương duy nhất của phương trình

Đặc biệt ta thấy rằng tồn tại một số thực $x$ sao cho $x^2 = 2$, trong khi không có số hữu tỉ nào có tính chất này; như vậy ta thu lại sự kiện rằng đường thẳng hữu tỉ $\mathbf{Q}$ không phải là một không gian đầy đủ.

Ánh xạ $x \to x^{1/n}$ của $\mathbf{R}_+$ lên chính nó là tăng ngặt và liên tục. Theo (2) ta có $0^{1/n} = 0, 1^{1/n} = 1$, và còn có

do đó $x \to x^{1/n}$ là một tự đẳng cấu của nhóm tôpô $\mathbf{R}_+^*$.

Trong Chương V, § 4, no. 1, ta sẽ tổng quát hóa kết quả này bằng cách tìm tất cả các tự đẳng cấu của nhóm nhân $\mathbf{R}_+^*$.

Bài tập

Xem bài tập của § 3.