§ 5. Fonctions numériques

1. Fonctions numériques

Par un abus de langage analogue à celui signalé dans IV, p. 14, nous appellerons fonctions numériques définies dans $E$, dans ce paragraphe et dans le suivant, les applications de $E$ dans $\overline{\mathbf{R}}$; les applications de $E$ dans $\mathbf{R}$ seront appelées fonctions numériques finies.

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions numériques définies dans $E$, la relation $f \leq g$ est par définition équivalente à « quel que soit $x \in E, f(x) \leq g(x)$ »; cette relation est une relation d’ordre dans l’ensemble $\overline{\mathbf{R}}^E$ des fonctions numériques définies dans $E$. En outre, $\overline{\mathbf{R}}^E$, ordonné par cette relation, est un ensemble réticulé ; en effet, si $f$ et $g$ sont deux fonctions numériques, la fonction numérique $h$ telle que, pour tout $x \in E, h(x) = \sup(f(x), g(x))$, est la plus petite des fonctions numériques qui sont à la fois $\geq f$ et $\geq g$; conformément aux notations générales, on désignera cette fonction (qui est la borne supérieure de $f$ et $g$ dans $\overline{\mathbf{R}}^E$) par la notation $\sup(f, g)$; de même, la fonction numérique égale à $\inf(f(x), g(x))$ pour tout $x \in E$, sera notée $\inf(f, g)$.

On remarquera que $\sup(f, g)$ est l’application composée de l’application $(u, v) \mapsto \sup(u, v)$ de $\overline{\mathbf{R}} \times \overline{\mathbf{R}}$ dans $\overline{\mathbf{R}}$, et de l’application $x \mapsto (f(x), g(x))$ de $E$ dans $\overline{\mathbf{R}} \times \overline{\mathbf{R}}$. On a une propriété analogue pour $\inf(f, g)$.

Une fonction numérique $f$ définie dans un ensemble $E$ est dite majorée (resp. minorée) dans $E$, si $f(E)$ est une partie majorée de $A'' = (-\infty, +\infty[$ (resp. une partie minorée de $A' = ]-\infty, +\infty[$); $f$ est dite bornée dans $E$ si elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire si $f(E)$ est une partie bornée de $\mathbf{R}$ (rappelons que toute partie de $\overline{\mathbf{R}}$ est bornée).

Toute fonction bornée est donc finie ; la réciproque est inexacte comme le montre l’exemple de la fonction $1/x$ dans $\mathbf{R}_+^* = ]0, +\infty[$.

2. Fonctions numériques définies dans un ensemble filtré

3. Limites à droite et à gauche d’une fonction d’une variable réelle

Soit $A$ une partie non vide de $\overline{\mathbf{R}}$, et $a \neq -\infty$ un point de $\overline{\mathbf{R}}$ adhérent à l’ensemble $B = A \cap (-\infty, a[$. L’ensemble $B$ est filtrant pour la relation $\leqslant$, et son filtre des sections $\mathfrak{F}$ est identique à la trace sur $B$ du filtre des voisinages de $a$ dans $\overline{\mathbf{R}}$.

On définit de même, lorsque $a \neq +\infty$ est adhérent à l’ensemble $A \cap ]a, +\infty]$, une limite à droite (si elle existe) de $f$ au point $a$ qu’on note $\lim_{x \to a, x > a, x \in A} f(x)$, ou $f(a+)$ lorsque $E$ est séparé.

Le th. 2 de IV, p. 18 entraîne immédiatement la proposition suivante: Proposition 4. — Soient $A$ une partie de $\overline{\mathbf{R}}$, $a \neq -\infty$ un point adhérent à l’intersection $A \cap (-\infty, a[$; si $f$ est une fonction numérique monotone définie dans $A$, elle a une limite à gauche $f(a-)$ au point $a$, relativement à $A$.

4. Bornes d’une fonction numérique

En particulier, si $A$ est une partie non vide de $\overline{\mathbf{R}}$, on a

Il est souvent plus commode d’utiliser la notation du second membre pour désigner la borne supérieure de A.

Le nombre $a = \sup_{x \in A} f(x)$ est caractérisé par les deux propriétés suivantes: 1° Quel que soit $x \in A, f(x) \leq a$. 2° Quel que soit $b < a$, il existe $x \in A$ tel que $b < f(x) \leq a$. Les nombres $\sup_{x \in A} f(x)$ et $\inf_{x \in A} f(x)$ appartiennent à l’adhérence de $f(A)$ dans $\overline{\mathbf{R}}$. On a $\inf_{x \in A} f(x) \leq \sup_{x \in A} f(x)$; pour que ces deux nombres soient égaux, il faut et il suffit que $f$ soit constante dans A.

Pour qu’une fonction numérique $f$, définie dans un ensemble E, soit majorée (resp. minorée) dans une partie non vide A de E, il faut et il suffit que $\sup_{x \in A} f(x) < +\infty$ (resp. $\inf_{x \in A} f(x) > -\infty$); on dit encore dans ce cas que $f$ est bornée supérieurement (resp. bornée inférieurement) dans A. Pour que $f$ soit bornée dans A, il faut et il suffit que $|f|$ soit majorée dans A, donc que $\sup_{x \in A} |f(x)| < +\infty$.

On a

5. Enveloppes d’une famille de fonctions numériques

L’enveloppe supérieure de la famille $(f_i)$ n’est autre que la borne supérieure de cette famille dans l’ensemble ordonné réticulé $\overline{\mathbf{R}}^E$ des fonctions numériques définies dans E, ce qui justifie la notation $\sup_i f_i$.

En outre, si on munit $\overline{\mathbf{R}}^E$ de la topologie produit de celles de ses facteurs (tous identiques à $\overline{\mathbf{R}}$), on a la proposition suivante:

Pour que $(f_i)$ soit uniformément majorée dans $E$, il faut et il suffit donc que l’enveloppe supérieure de cette famille soit majorée dans $E$. Pour que $(f_i)$ soit uniformément bornée dans $E$, il faut et il suffit que l’enveloppe supérieure de la famille $(|f_i|)$ soit majorée dans $E$ (c’est-à-dire qu’il existe un nombre fini $a \geq 0$ tel que, pour tout $i \in I$ et tout $x \in E$, $|f_i(x)| \leq a$).

6. Limite supérieure et limite inférieure d’une fonction numérique suivant un filtre

Soit $f$ une fonction numérique, définie dans un ensemble $E$, filtré par un filtre $\mathfrak{G}$. On sait (I, p. 39) que $\mathfrak{G}$ est un ensemble ordonné filtrant pour la relation $\supseteq$. Considérons, pour tout ensemble $X \in \mathfrak{G}$, le nombre réel $\sup_{x \in X} f(x)$; on définit ainsi une application $X \mapsto \sup_{x \in X} f(x)$ de $\mathfrak{G}$ dans $\overline{\mathbf{R}}$, qui est décroissante dans $\mathfrak{G}$, d’après la prop. 7 de IV, p. 21. Elle a donc une limite suivant l’ensemble filtrant $\mathfrak{G}$, d’après le th. 2 de IV, p. 18.

On définit de même la limite inférieure de $f$ suivant le filtre $\mathfrak{G}$, qu’on note $\lim.\inf_{\mathfrak{G}} f$, ou $\lim.\inf_{x,\mathfrak{G}} f(x)$.

On a donc, par définition

On se dispense souvent d’indiquer le filtre $\mathfrak{G}$ dans les notations, et on écrit simplement $\lim.\sup f$, ou $\lim.\sup_x f(x)$, ou $\lim.\sup f(x)$, lorsqu’il ne peut en résulter de confusion.

D’après les formules (10) et le th. 1 de IV, p. 18, on a

7. Opérations algébriques sur les fonctions numériques

Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques définies dans un ensemble $E$; si la somme $f(x) + g(x)$ (resp. le produit $f(x)g(x)$) a un sens quel que soit $x \in E$, on notera encore $f + g$ (resp. $fg$) la fonction numérique $x \mapsto f(x) + g(x)$ (resp. $x \mapsto f(x)g(x)$). De même, si $1/f(x)$ a un sens quel que soit $x \in E$, on notera $1/f$ la fonction $x \mapsto 1/f(x)$.

Cette dernière fonction est donc définie lorsque $f$ ne prend pas la valeur 0; lorsque $f$ prend ses valeurs dans l’intervalle $[0, +\infty)$ (resp. dans $(- \infty, 0])$, on peut encore considérer que $1/f(x)$ est partout défini en posant $1/0 = +\infty$ (resp. $1/0 = -\infty$); la fonction $1/f$ sera encore définie dans ce cas.

Supposons $E$ filtré par un filtre $\mathfrak{F}$, et que $\lim_{\mathfrak{F}} f$ et $\lim_{\mathfrak{F}} g$ existent; si, d’une part, la fonction $f + g$ (resp. $fg$, resp. $1/f$) est définie, et si, d’autre part, l’expression $\lim_{\mathfrak{F}} f + \lim_{\mathfrak{F}} g$ (resp. $\lim_{\mathfrak{F}} f . \lim_{\mathfrak{F}} g$, resp. $1/\lim_{\mathfrak{F}} f$) a un sens, alors $\lim_{\mathfrak{F}} (f + g)$ (resp. $\lim_{\mathfrak{F}} fg$, resp. $\lim_{\mathfrak{F}} (1/f)$) existe et est égale à cette expression, en vertu de la continuité de la fonction $x + y$ (resp. $xy$, resp. $1/x$) aux points où elle est définie.