En effet, $f(E)$, qui est connexe (I, p. 82, prop. 4), est un intervalle de $\overline{\mathbf{R}}$ (IV, p. 15, prop. 5), et par suite contient l’intervalle fermé de bornes $f(a)$ et $f(b)$.

On exprime souvent cette propriété en disant qu’une fonction numérique continue dans un espace connexe ne peut passer d’une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

Cette propriété n’est d’ailleurs nullement caractéristique des fonctions continues; on peut donner des exemples de fonctions définies dans un espace connexe, discontinues en tout point, et qui la possèdent (IV, p. 55, exerc. 2).

En effet, cette condition exprime que $\overline{f}([k, +\infty])$ est un voisinage de chacun de ses points.

Pour que $f$ soit semi-continue inférieurement dans $E$, il suffit que $\overline{f}([k, +\infty])$ soit un ensemble ouvert dans $E$, pour tous les nombres réels $k$ appartenant à un ensemble partout dense dans $\mathbf{R}$.

¹ Rappelons (E, III, p. 38) que la fonction caractéristique $\varphi_A$ d’une partie $A$ d’un ensemble $E$, est la fonction définie dans $E$, telle que $\varphi_A(x) = 1$ pour tout $x \in A$, et $\varphi_A(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbf{C}A$.

En effet, $\varphi_A^{-1}(k, +\infty])$ est égal à $\varnothing$ pour $k \geqslant 1$, à $A$ pour $0 \leqslant k < 1$ et à $E$ pour $k < 0$.

En effet, pour tout $k \in f(E)$, considérons l’ensemble $A_k = f^{-1}((-\infty, k])$; ces ensembles sont non vides et forment une base de filtre sur $E$; comme ils sont fermés d’après la prop. 1, ils ont au moins un point commun $a$ (axiome (C'') des espaces quasi-compacts (I, p. 59)). Pour tout $x \in E$, on a donc $f(a) \leqslant f(x)$, d’où le théorème.

On remarquera que ce théorème, et le théorème correspondant pour les fonctions semi-continues supérieurement redonnent comme cas particulier le théorème de Weierstrass (IV, p. 27, th. 1).

Faisons par exemple la démonstration pour $f + g$; les raisonnements sont analogues dans les autres cas. La proposition est évidente si $f(a)$ ou $g(a)$ est égal à $-\infty$; sinon, on a $f(a) + g(a) > -\infty$. Tout nombre fini $h < f(a) + g(a)$ peut s’écrire $h = r + s$, où $r < f(a)$ et $s < g(a)$ sont finis (il suffit de prendre $s$ tel que $h - f(a) < s < g(a)$); par hypothèse, il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que, pour tout $x \in V$, on ait $r < f(x)$, et un voisinage $W$ tel que, pour tout $x \in W$, $s < g(x)$; il en résulte que $h = r + s < f(x) + g(x)$ pour tout point $x$ du voisinage $V \cap W$.

On voit de même que, si $f$ est semi-continue inférieurement en un point $a$, et si $f \geqslant 0$, $1/f$ est semi-continue supérieurement au point $a$.

En effet, soit $g$ cette enveloppe supérieure; quel que soit $h < g(a)$, il existe un indice $i$ tel que $h < f_i(a) \leqslant g(a)$, puis un voisinage $V$ de $a$ tel que $h < f_i(x)$ pour tout $x \in V$, d’où a fortiori $h < g(x)$ pour tout $x \in V$.

D’après la prop. 2, l’enveloppe inférieure d’un nombre fini de fonctions semi-continues inférieurement, est encore semi-continue inférieurement; mais il n’en est pas de même en général de l’enveloppe inférieure d’une famille infinie de fonctions semi-continues inférieurement. Par exemple, pour tout nombre rationnel $r$, désignons par $f_r$ la fonction égale à 0 au point $r$, à 1 pour tout nombre réel $x \neq r$; l’enveloppe inférieure des $f_r$ est la fonction $g$ égale à 0 pour tout nombre rationnel, à 1 pour tout nombre irrationnel (fonction de Dirichlet); elle n’est donc pas semi-continue inférieurement aux points irrationnels.

Dans IX, §1, n° 7, prop. 7, nous montrerons que la réciproque de cette proposition est vraie si E est uniformisable (et dans ce cas seulement); toute fonction semi-continue inférieurement dans un espace uniformisable est l’enveloppe supérieure d’une famille de fonctions continues.

Etant donnés deux entiers $k \geq 1$ et $n \geq 1$, notons $v_{kn}$ la fonction caractéristique de l’intervalle $[k/2^n, +\infty)$ de $\overline{\mathbf{R}}$. Pour tout $x \in \overline{\mathbf{R}}_+$, posons $u_n(x) = 2^{-n} \sum_{k=1}^{n.2^n} v_{kn}(x)$; il est immédiat que la suite $(u_n(x))_{n \geq 1}$ est croissante et admet x pour limite dans $\overline{\mathbf{R}}$. La suite des fonctions $f_n = u_n \circ f$ est donc croissante et converge vers f, et l’on a $f_n = 2^{-n} \sum_{k=1}^{n.2^n} \varphi_{U(k,n)}$, où U(k, n) est l’ensemble ouvert $-1$($k/2^n, +\infty$) de E (IV, p. 29, prop. 1).

La condition est nécessaire. En effet, quel que soit $h < f(a)$, il existe un voisinage V de a tel que $h < f(x)$ quel que soit $x \in V$, donc $h \leq \inf_{x \in V} f(x) \leq \liminf_{x \to a} f(x)$ (IV, p. 23, formules (12)), et par suite $f(a) \leq \liminf_{x \to a} f(x)$. La condition est suffisante; en effet, si elle est vérifiée, pour tout $h < f(a)$, il existe un voisinage V de a tel que $h \leq \inf_{x \in V} f(x)$, donc f est semi-continue inférieurement au point a.

En effet, quel que soit $h < g(x)$, il existe un voisinage ouvert V de x tel que, pour tout $z \in V \cap A$, $h < f(z)$; or V est un voisinage d’un quelconque de ses points y; on a donc $\liminf_{z \to y, z \in A} f(z) = g(y) \geq h$ quel que soit $y \in V$, d’où la proposition.

On dit que g est la fonction régularisée semi-continue inférieurement de f. On définit de même la régularisée semi-continue supérieurement de f.

On peut encore définir g comme la plus grande des fonctions $\varphi$ semi-continues inférieurement dans E, et telles que $\varphi(x) \leq f(x)$ quel que soit $x \in A$. Si f est semi-continue inférieurement dans A, g est un prolongement de f à E, d’après la prop. 3.