Exercice 11, § 4

Soit $f$ une fonction continue dans un intervalle ouvert $I \subset \mathbf{R}$, admettant en tout point de $I$ une dérivée à droite finie. Si, pour tout $x \in I$ et tout $y \in I$ tel que $y > x$, le point $M_y = (y, f(y))$ est au-dessus de la demi-tangente à droite au point $M_x = (x, f(x))$ du graphe de $f$, montrer que $f$ est convexe dans $I$ (en utilisant le th. des accroissements fins, montrer que l’on a $f'_d(y) \geqslant \frac{f(y) - f(x)}{y-x}$ pour $x < y$).

Donner un exemple de fonction non convexe, ayant en tout point une dérivée à droite finie, et telle que pour tout $x \in I$, il existe un nombre $h_x > 0$ dépendant de $x$, que $M_y$ soit au-dessus de la demi-tangente à droite au point $M_x$ pour tout $y$ tel que $x \leqslant y \leqslant x + h_x$. Cette dernière condition est toutefois suffisante pour que $f$ soit convexe, si on suppose en outre que $f$ est dérivable dans $I$ (utiliser I, p. 20, corollaire).