Fonctions d’une variable réelle, II, p. 31
Bourbaki marks this one as harder than the rest.
Soit f une fonction numérique réglée dans un intervalle compact [a,b]. On pose
r(n)=nb−ak=1∑nf(a+knb−a)−∫abf(t)dt. a) Montrer que, si
f est croissante dans
[a,b], on a
0≤r(n)≤nb−a(f(b)−f(a)). b) Si
f est continue et admet dans
[a,b] une dérivée à droite réglée et bornée, montrer qu’on a
n→∞limnr(n)=2b−a(f(b)−f(a))(en posant xk=a+knb−a, remarquer qu’on a r(n)=k=0∑n−1∫xkxk+1(f(xk+1)−f(t))dt, et appliquer la prop. 5 de II, p. 7). c) Donner un exemple de fonction
f croissante et continue dans
[a,b] telle que
nr(n) ne tende pas vers
2b−a(f(b)−f(a)) lorsque
n croît indéfiniment [prendre pour
f la limite d’une suite décroissante
(fn) de fonctions croissantes dont les courbes représentatives sont des lignes brisées, telles que
fn(a+k2nb−a)=f(a+k2nb−a)pour 0≤k≤2n et
(b−a)k=1∑2nfn(a+k2nb−a)−2n∫abfn(t)dt≥41(b−a)(fn(b)−fn(a))].