Cho f là một hàm điều chỉnh thực trên một khoảng compact [a, b]. Đặt
r(n)=nb−ak=1∑nf(a+knb−a)−∫abf(t)dt.
a) Chứng minh rằng nếu f tăng trên [a, b] thì ta có
0≤r(n)≤nb−a(f(b)−f(a)).
b) Nếu f liên tục và có một đạo hàm phải bị chặn điều chỉnh trên [a, b[, chứng minh rằng ta có limn→∞nr(n)=2b−a(f(b)−f(a)) (đặt xk=a+knb−a, nhận xét rằng ta có
r(n)=k=0∑n−1∫xkxk+1(f(xk+1)−f(t))dt, và áp dụng mệnh đề 5 của II, p. 57).
c) Cho một ví dụ về một hàm f, tăng và liên tục trên [a, b], sao cho nr(n) không tiến tới 2b−a(f(b)−f(a)) khi n tăng vô hạn [lấy f là giới hạn của một dãy giảm (fn) các hàm tăng có đồ thị là các đường gấp khúc sao cho
fn(a+k2nb−a)=f(a+k2nb−a)cho0≤k≤2n và
(b−a)k=1∑2nfn(a+k2nb−a)−2n∫abfn(t)dt≥43(b−a)(fn(b)−fn(a))].