Exercice 15, § 1

Soit $f$ une fonction numérique continue, strictement croissante dans un intervalle $[0, a]$, et telle que $f(0) = 0$; soit $g$ sa fonction réciproque, définie et strictement croissante dans $[0, f(a)]$; montrer que, pour $0 \leq x \leq a$ et $0 \leq y \leq f(a)$, on a

l’égalité n’ayant lieu que si $y = f(x)$ (étudier les variations en fonction de $x$ (y restant fixe) de $xy - \int_0^x f(t) \, dt$). En déduire que, pour $x \geq 0, y \geq 0, p > 1, p' = p/(p - 1)$, on a $xy \leq ax^p + by^{p'}$ pour $a > 0, b > 0$ et $(pa)^p (pb')^{p'} \geq 1$.