Bài tập 15, § 1

Cho $\mathbf{f}$ là một hàm thực liên tục, tăng ngặt trên một khoảng $[0, a]$, và sao cho $f(0) = 0$; cho $g$ là hàm nghịch đảo của nó, xác định và tăng ngặt trên $[0, f(a)]$, chứng minh rằng

với $0 \leq x \leq a$ và $0 \leq y \leq f(a)$, đẳng thức chỉ xảy ra nếu $y = f(x)$ (nghiên cứu sự biến thiên của $xy - \int_0^x f(t) \, dt$) như một hàm của $x$ ($y$ giữ cố định). Suy ra rằng với $x \geq 0,\ y \geq 0,\ p > 1,\ p' = p/(p-1)$, ta có $xy \leq ax^p + by^{p'}$ với $a > 0,\ b > 0$ và $(pa)^{p'} (p'b)^{p'} \geq 1$.