Exercice 20, § 1

Fonctions d’une variable réelle, II, p. 32

Montrer que, lorsque n croît indéfiniment, le polynôme

f_n(x) = \frac{\int_0^x (1 - t^2)^n\,dt}{\int_0^1 (1 - t^2)^n\,dt}

tend uniformément vers −1 dans tout intervalle (−1, −ε), et tend uniformément vers +1 dans tout intervalle (ε, +1), où ε > 0 (remarquer que

\int_0^1 (1 - t^2)^n\,dt \geq \int_0^1 (1 - t)^n\,dt

). En déduire que le polynôme

g_n(x) = \int_0^x f_n(t)\,dt

tend uniformément vers |x| dans (−1, +1), ce qui donne une nouvelle démonstration du th. de Weierstrass (TG, X, p. 37, prop. 3).

Solution

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