Bài tập 20, § 1

Chứng minh rằng khi $n$ tăng vô hạn, đa thức

dần đều tới $-1$ trên mọi khoảng $[-1, -\varepsilon]$, và dần đều tới $+1$ trên mọi khoảng $[\varepsilon, +1]$, trong đó $\varepsilon > 0$ (chú ý rằng $\int_0^1 (1-t^2)^n\,dt \geq \int_0^1 (1-t)^n\,dt$). Suy ra rằng đa thức $g_n(x) = \int_0^x f_n(t)\,dt$ dần đều tới $|x|$ trên $[-1, +1]$, điều này cung cấp một chứng minh mới cho định lý Weierstrass (Gen. Top., X, tr. 313, mệnh đề 3).