Exercice 21, § 1

Fonctions d’une variable réelle, II, p. 32

Soit f une fonction numérique croissante convexe et continue dans un intervalle (0, a) et telle que $f(0) = 0$ . Si $a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \geq 0$ est une suite finie décroissante de points de (0, a), montrer que l’on a

f(a_1) - f(a_2) + \cdots + (-1)^{n-1} f(a_n) \geq f(a_1 - a_2 + \cdots + (-1)^{n-1} a_n ).

(On peut se borner au cas où

n = 2m

est pair; remarquer que pour

1 \leq j \leq m

, on a

\int_\alpha^{\beta} f'(t)\,dt \leq \int_{a_{2j}}^{a_{2j-1}} f'(t)\,dt

où

\alpha = a_{2j+1} - a_{2j+2} + \cdots + a_{2m-1} - a_{2m}

\beta = \alpha + (a_{2j-1} - a_{2j})

Solution

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