Exercice 23, § 1

Fonctions d’une variable réelle, II, p. 33

Soit $\mathbf{f}$ une fonction vectorielle continûment dérivable dans un intervalle $(a, b) \subset \mathbf{R}$ , à valeurs dans un espace normé complet. a) Montrer que pour $a \leq t \leq b$ , on a

f(t) = \frac{1}{b - a} \int_a^b \mathbf{f}(x) \, dx + \int_a^b \frac{x - a}{b - a} \mathbf{f}'(x) \, dx + \int_t^b \frac{x - b}{b - a} \mathbf{f}'(x) \, dx.

b) En déduire les inégalités

\| \mathbf{f}(t) \| \leq \frac{1}{b - a} \int_a^b \| \mathbf{f}(x) \| dx + \int_a^b \| \mathbf{f}'(x) \| dx

\| \mathbf{f}(\frac{1}{2}(a + b)) \| \leq \frac{1}{b - a} \int_a^b \| \mathbf{f}(x) \| dx + \frac{1}{2} \int_a^b \| \mathbf{f}'(x) \| dx.

Solution

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