Cho f là một hàm vectơ, khả vi liên tục trên một khoảng [a,b]⊂R, với các giá trị trong một không gian định chuẩn đầy đủ.
(a) Chứng minh rằng đối với a≤t≤b ta có
f(t)=b−a1∫abf(x)dx+∫abb−ax−af′(x)dx+∫tbb−ax−bf′(x)dx.
(b) Suy ra các bất đẳng thức
∥f(t)∥≤b−a1∫ab∥f(x)∥dx+∫ab∥f′(x)∥dx và
∥f(21(a+b))∥≤b−a1∫ab∥f(x)∥dx+21∫ab∥f′(x)∥dx.