Exercice 7, § 1

Montrer que la fonction égale à $\sin(1/x)$ pour $x \neq 0$, à 0 pour $x = 0$, admet une primitive stricte dans $\mathbf{R}$ (remarquer que $x^2 \sin(1/x)$ admet une dérivée en tout point). En déduire que, si $g(x, u, v)$ est un polynôme en $u, v$, à coefficients fonctions continues de $x$ dans un intervalle $I$ contenant 0, la fonction égale à $g(x, \sin 1/x, \cos 1/x)$ pour $x \neq 0$, à une valeur convenable $\alpha$ (que l’on déterminera) pour $x = 0$, admet une primitive stricte dans $I$; donner un exemple où $\alpha \neq g(0, 0, 0)$. \*