Bài tập 7, § 1

Chứng minh rằng hàm bằng $\sin(1/x)$ với $x \neq 0$ và bằng 0 với $x = 0$, có một nguyên hàm ngặt trên $\mathbf{R}$ (nhận xét rằng $x^2 \sin(1/x)$ có đạo hàm tại mọi điểm).

Suy ra từ điều này rằng nếu $g(x, u, v)$ là một đa thức theo $u,\ v$, các hệ số của nó là các hàm liên tục của $x$ trên một khoảng $I$ chứa 0, thì hàm bằng $g(x, \sin 1/x, \cos 1/x)$ với $x \neq 0$, và bằng một giá trị thích hợp $\alpha$ (được xác định) với $x = 0$, có một nguyên hàm ngặt trên $I$; hãy cho một ví dụ trong đó $\alpha \neq g(0, 0, 0)$.*