Exercice 1, § 2

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels finis tels que $\alpha < \beta$. Montrer que si $\gamma$ et $\delta$ sont deux nombres tels que $\alpha < \gamma \leq \delta < \beta$, il existe une fonction numérique $f$, définie dans un intervalle $(0, a)$, ne prenant que les valeurs $\alpha$ et $\beta$, telle que dans tout intervalle $(\epsilon, a)$ (pour $\epsilon > 0$), $f$ soit une fonction en escalier et que, si on pose $g(x) = \int_0^x f(t) \, dt$, on ait

(*)

(prendre pour $g$ une fonction dont le graphe est une ligne brisée dont les côtés consécutifs ont pour pentes $\alpha$ et $\beta$ et dont les sommets se trouvent alternativement, soit sur les droites $y = \gamma x$, $y = \delta x$ pour $y \neq \delta$, soit sur la droite $y = \gamma x$ et la parabole $y = \gamma x + x^2$ pour $\gamma = \delta$.

Par la même méthode, montrer que si $\gamma$ et $\delta$ sont finis ou non ($\gamma < \delta$) il existe une fonction numérique $f$ définie dans $]0, a]$ telle que, dans tout intervalle $(\epsilon, a)$ (pour $\epsilon > 0$), $f$ soit une fonction en escalier, que l’intégrale $g(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ existe et que l’on ait encore les relations (*).