Bài tập 1, § 2

Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai số thực hữu hạn sao cho $\alpha < \beta$. Chứng minh rằng nếu $\gamma$ và $\delta$ là hai số sao cho $\alpha < \gamma \leq \delta < \beta$ thì tồn tại một hàm thực $f$ xác định trên một khoảng $[0, a]$, chỉ nhận các giá trị $\alpha$ và $\beta$, sao cho, trên toàn bộ khoảng $[\varepsilon, a]$ (với $\varepsilon > 0$), $f$ là một hàm bậc thang và rằng, nếu đặt $g(x) = \int_0^x f(t)\, dt$, thì ta có

(*) (lấy $g$ là một hàm có đồ thị là một đường gấp khúc mà các cạnh liên tiếp có hệ số góc $\alpha$ và $\beta$ và các đỉnh của nó lần lượt nằm trên các đường thẳng $y = \gamma x, \ y = \delta x$ đối với $\gamma \neq \delta$, hoặc trên đường thẳng $y = \gamma x$ và parabol $y = \gamma x + x^2$ đối với $\gamma = \delta$).

Bằng cùng phương pháp, chứng minh rằng, dù $\gamma$ và $\delta$ là hữu hạn hay không ($\gamma < \delta$), tồn tại một hàm thực $f$ xác định trên $[0, a]$, sao cho trên mọi khoảng $[\varepsilon, a]$ (với $\varepsilon > 0$), $f$ là một hàm bậc thang, rằng nguyên $g(x) = \int_0^x f(t)\, dt$ tồn tại, và rằng một lần nữa ta có các hệ thức (*).