§ 2. Tích phân trên các khoảng không compact

1. Định nghĩa tích phân trên một khoảng không compact

Cho I là một khoảng compact $[a,\ b]$ của trục mở rộng $\overline{\mathbf{R}}$ ( $a$ và $b$ có thể vô hạn); cho $f$ là một hàm được xác định trên $[a,\ b[$ , nhận giá trị trong một không gian định chuẩn đầy đủ E trên $\mathbf{R}$ . Khái quát hóa định nghĩa 1 của II, p. 51, ta sẽ nói rằng một hàm $g$ , được xác định trên $[a,\ b]$ với giá trị trong E, là một nguyên hàm của $f$ nếu nó liên tục trên $[a,\ b]$ (và đặc biệt tại các đầu mút $a$ và $b$ ) và có một đạo hàm bằng $f(x)$ tại mọi điểm của phần bù trong $[a,\ b[$ của một tập con đếm được của khoảng này.

Chúng tôi sẽ tự giới hạn vào trường hợp sau: tồn tại một dãy hữu hạn tăng ngặt $(c_i)_{0 \leq i \leq n}$ các điểm của $I = [a,\ b]$ , sao cho $c_0 = a,\ c_n = b$ , và sao cho $f$ là được điều chỉnh trên mỗi khoảng mở $[c_i,\ c_{i+1}[$ . Mặc dù không nhất thiết được điều chỉnh trên mọi khoảng mở chứa ít nhất một điểm $c_i$ nằm trong nội bộ của $I$ ; một hàm như vậy sẽ được gọi là được điều chỉnh từng khúc trên $[a,\ b[$ . Chúng tôi nhận xét rằng một hàm được điều chỉnh trên $[a,\ b[$ là được điều chỉnh từng khúc (lấy $n = 1$ trong định nghĩa trước đó).

Nếu $f$ có một nguyên hàm $g$ (theo nghĩa đã được nói chính xác ở trên), và nếu $c$ là một điểm của khoảng $[c_i,\ c_{i+1}[\ (0 \leq i \leq n - 1)$ , thì theo giả thiết, với mỗi $x$ trong khoảng này, ta có $g(x) - g(c) = \int_c^x f(t)\,dt$ ; vì $g$ liên tục trên $I$ theo giả thiết, suy ra $\int_c^x f(t)\,dt$ tiến tới một giới hạn trong $E$ khi $x$ tiến tới $c_i$ từ bên phải và khi $x$ tiến tới $c_{i+1}$ từ bên trái. Ngược lại, giả sử rằng các điều kiện này được thỏa mãn với mọi $t$ , và gọi $g_i$ là một nguyên hàm của $f$ trên khoảng $[c_i,\ c_{i+1}[\ (0 \leq i \leq n - 1)$ ; ta chú ý ngay lập tức rằng hàm $g$ , được xác định trên phần bù trong $I$ của tập hợp các $c_i$ , bởi điều kiện nó bằng $g_i(x) + \sum_{k=1}^i (g_{k-1}(c_k-) - g_k(c_k+))$ trên $[c_i,\ c_{i+1}[$ với $0 \leq i \leq n - 1$ , là liên tục tại mọi điểm của $I$ phân biệt với các $c_i$ và có một giới hạn tại mỗi điểm đó; do đó nó có thể được kéo dài bằng tính liên tục tới mỗi điểm ấy, và hàm được kéo dài hiển nhiên là một nguyên hàm của $f$ trên $I$ . Hơn nữa, rõ ràng rằng mọi nguyên hàm khác của $f$ đều có dạng $g + a$ ( $a$ là một phần tử của $E$ ).

Định nghĩa 1

Người ta nói rằng một hàm vectơ* $f$ , từng khúc điều hòa trên một khoảng $[a,\ b[$ của $\overline{\mathbf{R}}$ , có một nguyên trên khoảng này nếu $f$ có một nguyên hàm trên $[a,\ b[$ *; nếu* $g$ là một trong các nguyên hàm của $f$ trên $[a,\ b[$ *, và nếu* $x_0$ và $x$ là hai điểm bất kỳ của $[a,\ b[$ *, thì người ta gọi phần tử* $g(x) - g(x_0)$ là nguyên của $f$ từ $x_0$ đến $x$ , và ký hiệu nó bởi $\int_{x_0}^x f(t)\,dt$ .

Khái niệm này rõ ràng phù hợp với khái niệm đã được định nghĩa khi khoảng $[x_0,\ x]$ không chứa điểm nào trong các điểm $c_i$ .

Các nhận xét đứng trước định nghĩa 1 cho thấy rằng để $f$ có một tích phân trên $[a,\ b[$ thì điều kiện cần và đủ là hạn chế của nó trên mỗi khoảng $[c_i,\ c_{i+1}[$ đều thừa nhận một tích phân trên khoảng này. Nói cách khác, ta quy về trường hợp $f$ là điều hòa trên một khoảng không compắc $I \subset \mathbf{R}$ , có các đầu mút $a,\ b$ ( $a < b$ ), và trong đó: 1 hoặc ít nhất một trong các số $a,\ b$ là vô hạn; 2 hoặc $f$ không điều hòa trên một khoảng compắc chứa ít nhất một trong các điểm $a,\ b$ (hai giả thuyết này không loại trừ lẫn nhau). Để $f$ có một tích phân trên $I$ thì điều kiện cần và đủ là tích phân $\int_a^x f(t)\,dt$ tiến tới một giới hạn khi điểm $(x,\ y)$ tiến tới $(a,\ b) \in \overline{\mathbf{R}}^2$ đồng thời vẫn thuộc $I \times I$ : và giới hạn này chính là $\int_a^b f(t)\,dt$ theo định nghĩa 1. Do một sự lạm dụng ngôn ngữ, thay vì nói rằng $f$ có một tích phân trên $I$ , người ta nói rằng tích phân $\int_a^b f(t)\,dt$ là hội tụ (hoặc hội tụ).

Ví dụ

i) Tích phân $\int_1^{+\infty} dt/t^2$ hội tụ và bằng 1, vì

\int_1^x \frac{dt}{t^2} = 1 - \frac{1}{x}.

2) Tích phân $\int_0^1 dt / \sqrt{t}$ hội tụ và bằng 2, vì

\int_1^x \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2(1 - \sqrt{x}) \quad \text{với} \quad x > 0.

3) Cho $(\mathbf{u}_n)_{n \geq 1}$ là một dãy vô hạn các điểm của E, và gọi $\mathbf{f}$ là hàm bậc thang được xác định trên khoảng $[1, +\infty[$ bởi các điều kiện: $\mathbf{f}(x) = \mathbf{u}_n$ với $n \leq x < n+1$ . Khi đó, để tích phân $\int_1^{+\infty} \mathbf{f}(t)\,dt$ hội tụ thì điều kiện cần và đủ là chuỗi có số hạng tổng quát $\mathbf{u}_n$ hội tụ trong E; thật vậy, ta có

\int_1^n \mathbf{f}(t)\,dt = \sum_{p=1}^{n-1} \mathbf{u}_p,

nên điều kiện là cần; ngược lại, nếu chuỗi có số hạng tổng quát

\mathbf{u}_n

hội tụ trong E, thì

\lim_{n \to \infty} \mathbf{u}_n = 0

; bây giờ, nếu

n \leq x \leq n+1

, ta có

\int_1^n \mathbf{f}(t)\,dt = \sum_{p=1}^{n-1} \mathbf{u}_p + \mathbf{u}_n(x-n)

. do đó tích phân này có giới hạn

\sum_{n=1}^{\infty} \mathbf{u}_n

khi

x

tiến tới

+\infty

Điều đó là ngay lập tức rằng nếu một hàm từng khúc bị chặn $\mathbf{f}$ thừa nhận một nguyên trên I thì các công thức (4) đến (9) của II, p. 59 vẫn còn đúng. Tương tự, công thức (10) của II, p. 59 được mở rộng theo cách sau: giả sử $\mathbf{f}$ và $\mathbf{g}$ là các nguyên hàm của các hàm bị chặn $\mathbf{f}'$ và $\mathbf{g}'$ trên $]a,\ b[$ , và ký hiệu $[\mathbf{f}.\mathbf{g}]|_a^b$ là giới hạn (nếu nó tồn tại) của $[\mathbf{f}.\mathbf{g}]|_x^y$ khi $(x,\ y)$ tiến tới $(a,\ b)$ (với $a < x \leq y < b$ ); khi đó, nếu hai trong ba biểu thức $[\mathbf{f}.\mathbf{g}]|_a^b$ , $\int_a^b [\mathbf{f}(t).\mathbf{g}'(t)]\,dt$ , và $\int_a^b [\mathbf{f}'(t).\mathbf{g}(t)]\,dt$ có nghĩa, thì biểu thức thứ ba cũng có nghĩa, và công thức (10) của II, p. 59 là đúng.

Sau cùng, cho $f$ là một hàm thực được xác định và liên tục trên $I = ]a,\ b[$ , và là một nguyên hàm của một hàm điều chỉnh $f'$ trên $]a,\ b[$ ; mặt khác, cho $g$ là một hàm vectơ liên tục trên một khoảng mở J chứa $f(I)$ ; nếu hàm $g(f(x))f'(x)$ khả tích trên I, và nếu $f$ tiến tới một giới hạn (hữu hạn hay không) tại các điểm $a$ và $b$ , thì $g$ khả tích từ $f(a+)$ đến $f(b-)$ , và ta có công thức

\int_a^b g(f(t))f'(t)\,dt = \int_{f(a+)}^{f(b-)} g(u)\,du.

Thật vậy, nếu

(x,\ y)

tiến tới

(a,\ b)

, thì

(f(x),\ f(y))

tiến tới

(f(a+),\ f(b-))

theo giả thiết; chỉ cần áp dụng công thức (12) của II, p. 60 giữa

x

và

y

, rồi cho qua giới hạn để thu được (1).

Cho một hàm điều hòa $\mathbf{f}$ trên một khoảng không compact $I \subset \mathbf{R}$ , với các đầu mút $a$ và $b$ ( $a < b$ ), điều kiện để $\mathbf{f}$ có một tích phân trên I có thể được trình bày theo cách sau. Các khoảng compact $J \subset I$ tạo thành một tập có hướng $\mathscr{K}(I)$ đối với quan hệ $\subset ^1$ , vì nếu $[ \alpha , \beta ]$ và $[ \gamma , \delta ]$ là hai khoảng compact được chứa trong $I$ , và nếu đặt $\lambda = \min(\alpha, \gamma)$ , $\mu = \max(\beta, \delta)$ , thì khoảng $[ \lambda , \mu ]$ được chứa trong $I$ và chứa hai khoảng đang xét. Với mỗi khoảng compact $J = [ \alpha , \beta ]$ được chứa trong $I$ , ta đặt

\int_J f(t) \, dt = \int_\alpha^\beta f(t) \, dt;

để $f$ chấp nhận được một tích phân trên $I$ thì điều kiện cần và đủ là ánh xạ $J \mapsto \int_J f(t) \, dt$ có một giới hạn đối với tập có hướng $\mathfrak{K}(I)$ ; khi đó giới hạn này là tích phân $\int_a^b f(t) \, dt$ , mà ta lại ký hiệu bởi $\int_I f(t) \, dt$ .

Mệnh đề 1 (Tiêu chuẩn Cauchy cho các tích phân)

Cho $f$ là một hàm điều chỉnh trên một khoảng $I \subset \mathbf{R}$ có các đầu mút $a$ và $b$ ( $a < b$ ). Để tích phân $\int_a^b f(t) \, dt$ tồn tại, điều kiện cần và đủ là với mọi $\varepsilon > 0$ , tồn tại một đoạn compact $J_0 = [\alpha, \beta]$ được chứa trong $I$ , sao cho với mọi đoạn compact $K = [x, y]$ được chứa trong $I$ và không có điểm trong nào chung với $J_0$ , ta có $\| \int_K f(t) \, dt \| \leq \varepsilon$ .

Thật vậy, vì $E$ là đầy đủ nên tiêu chuẩn Cauchy cho thấy rằng để tích phân $\int_I f(t) \, dt$ hội tụ thì điều kiện cần và đủ là với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại một khoảng compact $J_0 = [\alpha, \beta]$ sao cho với mọi khoảng compact $J$ thỏa mãn $J_0 \subset J \subset I$ ta có $\| \int_J f(t) \, dt - \int_{J_0} f(t) \, dt \| \leq \varepsilon$ . Mệnh đề sẽ suy ra từ bổ đề sau:

Bổ đề. Cho $J_0 = [\alpha, \beta]$ là một khoảng compact được chứa trong $I$ . Để có $\| \int_J f(t) \, dt - \int_{J'} f(t) \, dt \| \leq \varepsilon$ với mọi cặp khoảng compact $J, J'$ được chứa trong $I$ và chứa $J'$ thì cần phải có $\| \int_K f(t) \, dt \| \leq \varepsilon$ , và đủ là có $\| \int_K f(t) \, dt \| \leq \varepsilon / 2$ , với mọi khoảng compact $K$ được chứa trong $I$ và không có điểm trong nào chung với $J_0$ .

Thật vậy, nếu với $J_0 \subset J \subset I$ và $J_0 \subset J' \subset I$ , ta có

\left\| \int_J f(t) \, dt - \int_{J'} f(t) \, dt \right\| \leq \varepsilon

đặc biệt ta thấy rằng, với $x \leq y \leq \alpha$ , hoặc với $\beta \leq x \leq y$ ( $x$ và $y$ trong $I$ ), ta có $\| \int_x^y f(t) \, dt \| \leq \varepsilon$ . Ngược lại, nếu $\| \int_K f(t) \, dt \| \leq \varepsilon / 2$ với mọi đoạn compắc $K \subset I$ sao cho $K \cap J_0 = \emptyset$ , và nếu $J = [x, y]$ , $J' = [z, t]$ là hai đoạn compắc được chứa trong $I$ và chứa $J_0$ , ta có

1 Nhắc lại (Lý thuyết Tập hợp, III, p. 144) rằng một tập hợp $\mathfrak{F}$ các tập con của $I$ là có hướng đối với quan hệ $\subset$ nếu, với mọi $X \in \mathfrak{F}$ , $Y \in \mathfrak{F}$ , tồn tại $Z \in \mathfrak{F}$ sao cho $X \subset Z$ và $Y \subset Z$ . Nếu $S(X)$ ký hiệu tập con của $\mathfrak{F}$ gồm các $U \in \mathfrak{F}$ sao cho $U \supset X$ , thì các $S(X)$ lập thành một cơ sở của một bộ lọc trên $\mathfrak{F}$ , gọi là bộ lọc các thiết diện của $\mathfrak{F}$ ; giới hạn (nếu tồn tại) của một ánh xạ $f$ từ $\mathfrak{F}$ vào một không gian tôpô, đối với bộ lọc các thiết diện của $\mathfrak{F}$ , được gọi là giới hạn của f đối với tập hợp có hướng $\mathfrak{F}$ (x. Gen. Top., I, p. 70 và Gen. Top., IV, p. 348).

\left\| \int_J f(t)\,dt - \int_{J'} f(t)\,dt \right\| = \left\| \int_x^z f(t)\,dt + \int_t^y f(t)\,dt \right\| \leq \varepsilon,

vì

x \leq \alpha \leq \beta \leq y \quad \text{và} \quad z \leq \alpha \leq \beta \leq t.

Ví dụ

Nếu khoảng I là bị chặn, và nếu $f$ bị chặn trên I, thì tích phân $\int_I f(t)\,dt$ luôn luôn tồn tại, vì, theo định lý giá trị trung bình, ta có, với $y \leq \alpha \leq \beta \leq z$ ,

\left\| \int_y^\alpha f(t)\,dt \right\| \leq (\alpha - a) \sup_{t \in I} \|f(v)\| , \quad \left\| \int_\beta^z f(t)\,dt \right\| \leq (b - \beta) \sup_{t \in I} \|f(x)\|

và chỉ cần lấy

\alpha - a

và

b - \beta

đủ nhỏ để tiêu chuẩn Cauchy được thỏa mãn.

Có thể chú ý rằng trong trường hợp này một nguyên hàm của $f$ trên I không nhất thiết có đạo hàm phải (tương ứng, trái) tại đầu mút trái (tương ứng, đầu mút phải) của I (khi số này là hữu hạn), trái với trường hợp I là compắc và $f$ là hàm được điều chỉnh trên I (cf. II, p. 33, exerc. 1).

2. Tích phân của các hàm dương trên một khoảng không compact

Mệnh đề 2

Cho $f$ là một hàm điều chỉnh thực $\geq 0$ trên một khoảng $I \subset \mathbf{R}$ có các đầu mút $a$ và $b$ ( $a < b$ ). Để tích phân $\int_a^b f(t)\,dt$ tồn tại thì điều kiện cần và đủ là tập hợp các số $\int_J f(t)\,dt$ bị chặn trên khi J chạy qua tập hợp các khoảng compact được chứa trong I; khi đó tích phân $\int_a^b f(t)\,dt$ là cận trên bé nhất của tập hợp các $\int_J f(t)\,dt$ .

Thật vậy, vì $f \geq 0$ , quan hệ $J \subset J'$ kéo theo rằng

\int_J f\,dt \leq \int_{J'} f\,dt;

do đó ánh xạ

J \mapsto \int_J f\,dt

là tăng, và mệnh đề suy ra từ định lý giới hạn đơn điệu (Gen. Top., IV, p. 349, đl. 2).

Khi ánh xạ $J \mapsto \int_J f(t)\,dt$ không bị chặn, nó có giới hạn $+\infty$ đối với tập có hướng $\mathscr{K}(I)$ ; khi đó, theo cách nói lạm dụng ngôn ngữ, người ta nói rằng tích phân $\int_a^b f(t)\,dt$ bằng $+\infty$ . Các tính chất của tích phân đã được thiết lập trong số 1 được mở rộng (khi xét các hàm $\geq 0$ ) cho trường hợp mà một số tích phân đang xét là vô hạn, miễn là các hệ thức trong đó chúng xuất hiện có nghĩa.

Mệnh đề 3 (nguyên lý so sánh). Cho $f$ và $g$ là hai hàm thực điều tiết trên một khoảng $I \subset \mathbf{R}$ , sao cho $0 \leq f(x) \leq g(x)$ tại mỗi điểm mà $f$ và $g$ liên tục (xem* II, p. 61, mệnh đề 6). Nếu tích phân của $g$ trên $I$ hội tụ, thì tích phân của $f$ cũng hội tụ, và ta có $\int_I f(t)\,dt \leq \int_I g(t)\,dt$ . Hơn nữa, hai tích phân không thể bằng nhau trừ khi $f(x) = g(x)$ tại mọi điểm của $I$ mà $f$ và $g$ liên tục.*

Bây giờ, với mọi khoảng compact $J \subset I$ ta có

\int_J f(t)\,dt \leq \int_J g(t)\,dt;

vì $\int_J g(t)\,dt \leq \int_I g(t)\,dt$ , các tích phân $\int_J f\,dt$ bị chặn trên, nên tích phân $\int_I f(t)\,dt$ hội tụ; hơn nữa, khi chuyển qua giới hạn, ta có $\int_I f(t)\,dt \leq \int_I g(t)\,dt$ . Giả sử thêm rằng $f(x) < g(x)$ tại một điểm $x \in I$ mà tại đó $f$ và $g$ liên tục; tồn tại một khoảng compắc $[c,\ d]$ được chứa trong $I$ , không thu về một điểm (duy nhất), và sao cho $x \in [c,\ d]$ ; ta có $\int_c^d f(t)\,dt < \int_c^d g(t)\,dt$ (II, p. 61, hệ quả 1), và vì mặt khác $\int_a^c f(t)\,dt \leq \int_a^c g(t)\,dt$ và $\int_d^b f(t)\,dt \leq \int_d^b g(t)\,dt$ theo điều đã nói ở trên, nên khi cộng từng số hạng một, ta thấy rằng $\int_a^b f(t)\,dt < \int_a^b g(t)\,dt$ .

Mệnh đề này cung cấp phương tiện được dùng thường xuyên nhất để quyết định xem tích phân của một hàm $f \geq 0$ có hội tụ hay không: đó là so sánh $f$ với một hàm đơn giản hơn $g \geq 0$ mà người ta đã biết tích phân của nó là hội tụ hay không hội tụ; ta sẽ thấy trong chương V cách tìm các hàm so sánh, trong những trường hợp thông dụng nhất; và ta sẽ suy ra các tiêu chuẩn thông dụng về sự hội tụ của các tích phân và của các chuỗi.

3. Tích phân hội tụ tuyệt đối

Định nghĩa 2

Người ta nói rằng tích phân của một hàm điều chỉnh $\mathbf{f}$ trên một khoảng $I \subset \mathbf{R}$ là hội tụ tuyệt đối nếu tích phân của hàm dương $\| \mathbf{f}(x) \|$ là hội tụ.

Mệnh đề 4

Nếu tích phân của $\mathbf{f}$ trên $I$ hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ, và ta có

\left| \int_I \mathbf{f}(t)\,dt \right| \leq \int_I \| \mathbf{f}(t) \| \,dt.\tag{2}

Thật vậy, với mọi khoảng compắc $J \subset I$ ta có (II, p. 61, công thức (16))

\left| \int_J \mathbf{f}(t)\,dt \right| \leq \int_J \| \mathbf{f}(t) \| \,dt.\tag{3}

Nếu tích phân của hàm dương $\| \mathbf{f}(x) \|$ là hội tụ, thì với mọi $\varepsilon > 0$ tồn tại một khoảng compact $[\alpha,\ \beta]$ được chứa trong $I$ , sao cho, với mọi khoảng compact $[\lambda,\ \gamma]$ được chứa trong $I$ và không có điểm trong nào chung với $[\alpha,\ \beta]$ , ta có $\int_{\lambda}^{\gamma} \| \mathbf{f}(t) \, dt \| \leq \varepsilon$ (II, p. 65, mệnh đề 1); suy ra rằng $\left| \int_{\lambda}^{\gamma} \mathbf{f}(t)\,dt \right| \leq \varepsilon$ , điều này chứng tỏ sự hội tụ của tích phân trên $I$ (II, p. 16, mệnh đề 1); khi chuyển qua giới hạn trong (3) ta suy ra bất đẳng thức (2).

Hệ quả

Cho $E, F, G$ là ba không gian định chuẩn đầy đủ trên $\mathbf{R}$ , và $(x, y) \mapsto x.y$ là một ánh xạ song tuyến tính liên tục từ $E \times F$ vào $G$ . Cho $\mathbf{f}, \mathbf{g}$ là hai hàm điều chỉnh trên $I$ , nhận giá trị trong $E$ và $F$ tương ứng. Nếu $\mathbf{f}$ bị chặn trên $I$ và nếu* tích phân của g hội tụ tuyệt đối trên I, thì tích phân của [f, g] hội tụ tuyệt đối.

Thật vậy, tồn tại một số h > 0 sao cho ta có $\| [x.y] \| \leq h \| x \| . \| y \|$ đồng nhất (Gen. Top., IX, p. 173, th. 1); nếu đặt $k = \sup_{x \in I} \| f(x) \|$ , thì ta có $\| [f(x).g(x)] \| \leq h k \| g(x) \|$ trên I; nguyên lý so sánh khi đó cho thấy tích phân của [f.g] hội tụ tuyệt đối, và, từ (2),

\left\| \int_I [f(t).g(t)] \, dt \right\| \leq h k \int_I \| g(t) \| \, dt.

Nhận xét

Một tích phân có thể hội tụ mà không hội tụ tuyệt đối; điều này được chỉ ra bởi Ví dụ 3 của II, p. 64, trong đó chuỗi có số hạng tổng quát $u_n$ là hội tụ mà không hội tụ tuyệt đối.

Bài tập

Xem các bài tập cho § 2.