Exercice 2, § 2

a) Soit $\mathbf{f}$ une fonction réglée dans un intervalle $]0, a]$ telle que l’intégrale $\int_0^a \frac{\mathbf{f}(t)}{t} \, dt$ soit convergente. Montrer que l’intégrale $g(x) = \int_0^x \mathbf{f}(t) \, dt$ est convergente et que $g$ admet au point $x = 0$ une dérivée à droite (intégrer convenablement par parties). b) Donner un exemple de fonction numérique $f$ telle que l’intégrale $g(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ soit convergente et admette au point $0$ une dérivée à droite, mais que $f(t)/t$ n’admette pas d’intégrale dans $]0, a]$ (prendre pour $f(x)/x$ la dérivée d’une fonction de la forme $\cos \varphi(x)$, où $\varphi$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $0$).