Bài tập 2, § 2

a) Cho $\mathbf{f}$ là một hàm điều hòa trên một khoảng $[0, a]$ sao cho nguyên $\int_0^a \frac{\mathbf{f}(t)}{t}\, dt$ là hội tụ. Chứng minh rằng nguyên $g(x) = \int_0^x \mathbf{f}(t)\, dt$ là hội tụ và rằng $g$ có một đạo hàm phải tại điểm $x = 0$ (lấy tích phân từng phần một cách thích hợp).

b) Hãy cho một ví dụ về một hàm thực $f$ sao cho nguyên $g(x) = \int_0^x f(t)\, dt$ là hội tụ và có một đạo hàm phải tại điểm 0, nhưng $f(t)/t$ lại không có nguyên trên ]0, a] (lấy $f(x)/x$ là đạo hàm của một hàm có dạng $\cos \varphi(x)$, trong đó $\varphi$ tiến tới $+\infty$ khi $x$ tiến tới 0).