Exercice 3, § 2

Soit $f$ une fonction numérique $\geq 0$, définie dans un intervalle $]0, a]$ et réglée dans cet intervalle, telle que l’intégrale $g(x) = \int_0^x f(t)\ dt$ soit convergente mais que $g$ n’ait pas de dérivée à droite au point 0. Montrer qu’il existe une fonction $f_1$ réglée dans ]$0, a$ [, telle que $(f_1(x))^2 = f(x)$ pour tout $x$, que l’intégrale $g_1(x) = \int_0^x f_1(t)\ dt$ soit convergente et que $g_1$ ait une dérivée à droite au point 0. (Considérer d’abord le cas où $f$ est identique à une fonction en escalier dans tout intervalle $(e, a)$ (pour $e > 0$). Dans ce cas, diviser chaque intervalle où $f$ est constante en un assez grand nombre de parties égales, et prendre $f_1$ constante dans chacun de ces intervalles, le signe de $f_1$ étant différent dans deux intervalles consécutifs. Procéder de même dans le cas général.)