Bài tập 3, § 2

Cho $f$ là một hàm thực $\geqslant 0$, xác định trên một khoảng ]0, a] và điều chỉnh trên khoảng này, sao cho tích phân $g(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ hội tụ, nhưng $g$ không có đạo hàm phải tại điểm 0. Chứng minh rằng tồn tại một hàm $f_1$, điều chỉnh trên ]0, a], sao cho $(f_1(x))^2 = f(x)$ với mọi $x$, rằng tích phân $g_1(x) = \int_0^x f_1(t)\,dt$ hội tụ, và rằng $g_1$ có đạo hàm phải tại 0. (Trước hết xét trường hợp $f$ đồng nhất với một hàm bậc thang trên mọi khoảng $[\varepsilon, a]$ (với $\varepsilon > 0$). Trong trường hợp này, chia mỗi khoảng mà trên đó $f$ là hằng thành một số đủ lớn các phần bằng nhau, và lấy $f_1$ là hằng trên mỗi khoảng này, dấu của $f_1$ khác nhau trên hai khoảng liên tiếp như vậy. Tiến hành theo cùng một cách trong trường hợp tổng quát.)