Exercice 5, § 2

a) Soit $\mathbf{f}$ une fonction réglée dans un intervalle ouvert borné $]a, b[$; on suppose qu’il existe une fonction numérique $g$, décroissante dans $]a, b[$, telle que $\| \mathbf{f}(x) \| \leq g(x)$ dans $]a, b[$ et que l’intégrale $\int_a^b g(t)\ dt$ soit convergente. Montrer que, si $(\varepsilon_n)$ est une suite de nombres $> 0$, tendant vers 0 et telle que $\inf n \varepsilon_n > 0$, on a

() b) Donner un exemple de fonction numérique $f$ réglée et $> 0$ dans $]0, 1[$ telle que l’intégrale $\int_0^1 f(t)\ dt$ soit convergente, mais que la relation () n’ait pas lieu pour $\varepsilon_n = 1/n$ (prendre $f$ de sorte que sa valeur pour $x = 2^{-p}$ soit $2^{2p}$).

c) Avec les mêmes hypothèses que dans a), montrer que