Bài tập 5, § 2

a) Cho $\mathbf{f}$ là một hàm điều chỉnh trên một khoảng mở bị chặn ]$a, b$*; giả sử tồn tại một hàm thực $g$, giảm trên ]$a, b$*, sao cho $\| \mathbf{f}(x) \| \leqslant g(x)$ trên ]$a, b$* và sao cho tích phân $\int_a^b g(t)\,dt$ hội tụ. Chứng minh rằng nếu $(\varepsilon_n)$ là một dãy các số $> 0$, tiến tới 0, và sao cho $\inf_{n \geqslant 1} n \varepsilon_n > 0$, thì ta có

b) Hãy cho một ví dụ về một hàm thực điều chỉnh $f > 0$ trên ]0, 1] sao cho tích phân $\int_0^1 f(t)\,dt$ hội tụ, nhưng quan hệ (*) lại không đúng với $\varepsilon_n = 1/n$ (lấy $f$ sao cho giá trị của nó tại $x = 2^{-n}$ là $2^{2^n}$).

c) Với cùng các giả thiết như trong a), chứng minh rằng