Exercice 6, § 2

Fonctions d’une variable réelle, II, p. 34

Soit $\mathbf{f}$ une fonction réglée dans l’intervalle $]a, +\infty[$ ; on suppose qu’il existe une fonction numérique $g$ décroissante dans $]a, +\infty[$ , telle que $\| \mathbf{f}(x) \| \leq g(x)$ dans cet intervalle et que l’intégrale $\int_a^{+\infty} g(t)\ dt$ soit convergente. Montrer que la série $\sum_{n=1}^\infty \mathbf{f}(a + nh)$ est absolument convergente pour tout $h > 0$ , et que l’on a

\lim_{h \to \infty} h \sum_{n=1}^\infty \mathbf{f}(a + nh) = \int_a^{+\infty} \mathbf{f}(t)\ dt.

Solution

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