Exercice 8, § 2

Soit $f$ une fonction réglée et $\geq 0$ dans un intervalle $[a, +\infty[$, et soit $g$ une fonction dérivable croissante définie dans $[a, +\infty[$, et telle que $g(x) - x \geq \lambda > 0$ pour tout $x \geq a$. Montrer que si l’on a $f(g(x))g'(x) \leq k.f(x)$ avec $k < 1$ (resp. $f(g(x))g'(x) \geq k.f(x)$ avec $k > 1$), l’intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)\ dt$ est convergente (resp. égale à $+\infty$) (critère d’Ermakoff: en désignant par $g^n$ la $n$-ème itérée de $g$, considérer l’intégrale $\int_0^{g^n(a)} f(t)\ dt$ et faire croître $n$ indéfiniment).