Bài tập 8, § 2

Cho $f$ là một hàm điều chỉnh và $\geqslant 0$ trên một khoảng ]$a, +\infty$*, và cho $g$ là một hàm khả vi tăng xác định trên ]$a, +\infty$*, sao cho $g(x) - x \geqslant \lambda > 0$ với mọi $x \geqslant a$.

Chứng minh rằng nếu có $f(g(x)) g'(x) \leq k f(x)$ với $k < 1$ (tương ứng, $f(g(x)) g'(x) \geq k f(x)$ với $k > 1$), thì tích phân $\int_a^{+\infty} f(t) \, dt$ hội tụ (tương ứng, bằng $+\infty$) (tiêu chuẩn Ermakoff: ký hiệu lặp thứ $n^{th}$ của $g$ bởi $g^n$, xét tích phân $\int_0^{g^n(a)} f(t) \, dt$ và cho $n$ tăng vô hạn).