Exercice 9, § 2

Fonctions d’une variable réelle, II, p. 34

Soit $\alpha$ un nombre $> 0$ , $f$ une fonction $\geq 0$ et décroissante, définie dans l’intervalle $]0, +\infty[$ et telle que l’intégrale $\int_0^{+\infty} t^\alpha f(t)\ dt$ soit convergente. Montrer que pour tout $x > 0$ , on a

\int_x^{+\infty} f(t)\ dt \leq \left( \frac{\alpha}{(\alpha+1)x} \right)^\alpha \int_0^{+\infty} t^\alpha f(t)\ dt.

EXERCICES

(Le démontrer d’abord lorsque $f$ est constante dans un intervalle ] $0, a$ ) et nulle pour $x > a$ , puis pour une somme de telles fonctions, et passer à la limite dans le cas général.)

Solution

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