§ 1. Comparaison des fonctions dans un ensemble filtré

Soit E un ensemble, filtré par un filtre de base $\mathfrak{F}$ (TG, I, p. 36); dans ce chapitre, nous considérerons des fonctions dont l’ensemble de définition est une partie de E appartenant à la base de filtre $\mathfrak{F}$ (partie dépendant de la fonction considérée) et qui prennent leurs valeurs, soit dans le corps $\mathbf{R}$ des nombres réels, soit plus généralement dans un espace vectoriel normé sur un corps valué (TG, IX, p. 32).

Dans les applications, E sera le plus souvent une partie d’un espace numérique $\mathbf{R}^n$ , ou de la droite achevée $\overline{\mathbf{R}}$ , et $\mathfrak{F}$ la trace sur E du filtre des voisinages d’un point adhérent à E, ou encore le filtre des complémentaires des ensembles relativement compacts dans E (« voisinages du point à l’infini »).

Il ne suffira pas en général de savoir qu’une telle fonction tend vers une limite donnée suivant $\mathfrak{F}$ pour pouvoir traiter tous les problèmes de « passage à la limite suivant $\mathfrak{F}$ » où interviennent des expressions formées avec cette fonction.

Par exemple, lorsque la variable réelle x tend vers $+\infty$ , les trois fonctions $x$ , $x^2$ et $\sqrt{x}$ tendent toutes trois vers $+\infty$ , mais, des expressions.

(x+1)^2 - x^2,\quad (x+1) - x,\quad \sqrt{x+1} - \sqrt{x}

la première tend vers $+\infty$ , la seconde vers 1, la troisième vers 0.

Il importe donc de connaître, non seulement la valeur limite d’une fonction suivant $\mathfrak{F}$ (lorsque cette limite existe), mais encore la « manière » dont la fonction tend vers sa limite; en d’autres termes, on est amené à opérer une classification dans l’ensemble des fonctions qui tendent vers une même limite.

1. Relations de comparaison: I. Relations faibles

Nous désignerons dans ce qui suit par V un espace vectoriel normé sur un corps valué K, par $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ l’ensemble des fonctions à valeurs dans V, dont chacune est définie dans une partie de E appartenant à la base de filtre $\mathfrak{F}$ . Les relations que nous allons définir entre de telles fonctions ont un caractère local relatif au filtre de base $\mathfrak{F}$ : nous allons préciser ce qu’il faut entendre par là. Si f et g sont deux fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ , rappelons que la relation « il existe un ensemble Z $\in \mathfrak{F}$ tel que f et g soient définies et égales dans Z » est une relation d’équivalence R_\infty dans $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ (TG, I, p. 44). Cela étant, nous dirons qu’une relation S où figure une fonction f de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ est de caractère local (suivant $\mathfrak{F}$ ) relativement à f, si elle est compatible (en f) avec la relation d’équivalence R_\infty (E, II, p. 42); on sait que, si $\tilde{f}$ est le germe de f suivant $\mathfrak{F}$ , classe de f modulo R_\infty (élément de l’ensemble quotient $\mathscr{H}_\infty(\mathfrak{F}, V) = \mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)/R_\infty$ ), on déduit de S, par passage au quotient, une relation entre $\tilde{f}$ et les autres arguments de S, et que réciproquement, toute relation de cette nature définit une relation de caractère local relativement à f.

Exemple

Si f et g sont deux fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ , la relation « il existe un ensemble X $\in \mathfrak{F}$ tel que f et g soient définies dans X, et que $f(t) \leq g(t)$ pour tout $t \in X$ » est de caractère local relativement à f et g. On note $\tilde{f} \leq \tilde{g}$ la relation obtenue en passant au quotient (pour f et g); on remarquera que si $\tilde{f} \leq \tilde{g}$ , il existe une fonction $f_1 \in \tilde{f}$ et une fonction $g_1 \in \tilde{g}$ , définies dans E tout entier, et telles que $f_1(t) \leq g_1(t)$ pour tout $t \in E$ .

Remarque 1

Soient $V_i$ (1 $\leq i \leq n$ ) n espaces vectoriels normés sur K, $\varphi$ une fonction définie dans $V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_n$ , à valeurs dans V par passage aux quotients suivant R_\infty, la fonction $\varphi$ définit donc une application de

\mathscr{H}_\infty(\mathfrak{F}, V_1) \times \cdots \times \mathscr{H}_\infty(\mathfrak{F}, V_n)

dans

\mathscr{H}_\infty(\mathfrak{F}, V)

, que l’on notera le plus souvent

\varphi(\tilde{f}_1, \ldots, \tilde{f}_n)

(TG, I xla, p. 45). Par exemple en prenant pour

\varphi

les applications

(x, y) \mapsto x + y

x \mapsto x\lambda

(

\lambda \in K

), on définit ainsi, pour deux germes quelconques

\tilde{f}, \tilde{g}

\mathscr{H}_\infty(\mathfrak{F}, V)

, les éléments

\tilde{f} + \tilde{g}

\tilde{f}\lambda

et on vérifie aussitôt que les lois de composition

(\tilde{f}, \tilde{g}) \mapsto \tilde{f} + \tilde{g}

(\lambda, \tilde{f}) \mapsto \tilde{f}\lambda

définissent sur

\mathscr{H}_\infty(\mathfrak{F}, V)

une structure d’espace vectoriel sur le corps K; dans cet espace,

\tilde{0}

est la classe formée des fonctions égales à 0 dans un ensemble de

\mathfrak{F}

, et

-\tilde{f}

est la classe formée des fonctions égales à

-f

dans un ensemble de

\mathfrak{F}

. De même, si V est une algèbre sur K, on définit sur

\mathscr{H}_\infty(\mathfrak{F}, V)

une seconde loi de composition interne

(\tilde{f}, \tilde{g}) \mapsto \tilde{f}\tilde{g}

en prenant

\varphi(x, y) = xy

; avec les deux lois précédentes, elle définit sur

\mathscr{H}_\infty(\mathfrak{F}, V)

une structure d’algèbre sur le corps K; si V admet un élément unité e,

\mathscr{H}_\infty(\mathfrak{F}, V)

admettra pour élément unité la classe

\tilde{e}

, formée des fonctions égales à e dans un ensemble de

\mathfrak{F}

; pour que

\tilde{f}

soit inversible dans

\mathscr{H}_\infty(\mathfrak{F}, V)

, il faut et il suffit que, pour une fonction

f \in \tilde{f}

, il existe

Z \in \mathfrak{F}

tel que

f(t)

soit inversible dans V pour tout

t \in Z

(auquel cas cette condition est vérifiée pour toute fonction de la classe

\tilde{f}

Remarque 2

Avec les mêmes notations, soit $\psi$ une application d’une partie de $\prod_{i=1}^n V_i$ dans V; nous désignerons par $\psi(f_1, f_2, \ldots, f_n)$ la fonction égale à $\psi(f_1(t), \ldots, f_n(t))$ en tout point $t \in E$ où les $f_i(t)$ sont définis et où le point $(f_i(t))$ appartient à l’ensemble où est définie $\psi^1$ . Par exemple, $f + g$ est la fonction égale à $f(t) + g(t)$ en tout point $t \in E$ où $f$ et $g$ sont toutes deux définies. On observera que l’application $(\mathbf{f}, \mathbf{g}) \mapsto \mathbf{f} + \mathbf{g}$ n’est pas une loi de groupe dans $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ , car si $\mathbf{f}$ n’est pas définie dans $E$ tout entier, il n’existe pas de fonction $\mathbf{g} \in \mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ telle que $\mathbf{f} + \mathbf{g} = 0$ .

Définition 1

Étant données deux fonctions numériques $f, g$ appartenant à $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ et qui sont $\geqslant 0$ dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ , on dit que $f$ est dominée par $g$ , ou que $g$ domine $f$ (suivant $\mathfrak{F}$ ), et on écrit $f \leqslant g$ ou $g \geqslant f$ , s’il existe un ensemble $X \in \mathfrak{F}$ et un nombre $k > 0$ tels que $f(t) \leqslant k.g(t)$ pour tout $t \in X$ (autrement dit, s’il existe $k > 0$ tel que $\tilde{f} \leqslant k.\tilde{g}$ ).

Étant données deux espaces normés $V_1, V_2$ , et deux fonctions $\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2$ appartenant respectivement à $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_1)$ et $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_2)$ on dit que $\mathbf{f}_1$ est dominée par $\mathbf{f}_2$ (suivant $\mathfrak{F}$ ) et on écrit $\mathbf{f}_1 \leqslant \mathbf{f}_2$ ou $\mathbf{f}_2 \geqslant \mathbf{f}_1$ si on a $\| \mathbf{f}_1 \| \leqslant \| \mathbf{f}_2 \|$ .

La relation $\mathbf{f}_1 \leqslant \mathbf{f}_2$ est évidemment de caractère local en $\mathbf{f}_1$ et $\mathbf{f}_2$ ; elle est donc équivalente à la relation $\tilde{\mathbf{f}}_1 \leqslant \tilde{\mathbf{f}}_2$ qui s’en déduit par passage aux quotients. Lorsque $f$ et $g$ sont deux fonctions numériques, on aura soin de ne pas confondre les relations $\tilde{f} \leqslant \tilde{g}$ et $\tilde{f} \leqslant \tilde{g}$ .

On notera que pour tout scalaire $\lambda \neq 0$ , la relation $\mathbf{f}_1 \leqslant \mathbf{f}_2 \lambda$ est équivalente à $\mathbf{f}_1 \leqslant \mathbf{f}_2$ . Si $\mathbf{f}_1 \leqslant \mathbf{f}_2$ , il existe un ensemble $X \in \mathfrak{F}$ tel que, pour tout point $x \in X$ où $\mathbf{f}_2(x) = 0$ , on ait $\mathbf{f}_1(x) = 0$ .

Exemple 1

La relation $\mathbf{f} \leqslant 1$ signifie que $\mathbf{f}$ est bornée dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ .

Exemple 2

Pour toute fonction $\mathbf{f}$ de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ et tout scalaire $\lambda \neq 0$ , on a $\mathbf{f} \leqslant \mathbf{f}\lambda$ .

Exemple 3

Lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , on a $\sin^2 x \leqslant \sin x$ .

Exemple 4

Lorsque $(x, y)$ tend vers $(0, 0)$ dans $\mathbf{R}^2$ , on a

xy \leqslant x^2 + y^2.

Les propositions suivantes sont des conséquences immédiates de la déf. 1:

Proposition 1

Si $f, g, h$ sont trois fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ , les relations $f \leqslant g$ et $g \leqslant h$ entraînent $f \leqslant h$ .

Proposition 2

Soient $\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2$ deux fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ et $g$ une fonction de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ . Les relations $\mathbf{f}_1 \leqslant g$ et $\mathbf{f}_2 \leqslant g$ entraînent $\mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2 \leqslant g$ .

En outre:

Proposition 3

Soient $V_1, V_2, V$ trois espaces normés sur un même corps valué, $(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mapsto [\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}]$ une application bilinéaire continue de $V_1 \times V_2$ dans $V$ . Si $\mathbf{f}_1$ et $\mathbf{f}_2$ sont des fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_1)$ et $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_2)$ respectivement, $g_1, g_2$ deux fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ telles que $\mathbf{f}_1 \leqslant g_1$ et $\mathbf{f}_2 \leqslant g_2$ , on a $[\mathbf{f}_1 \cdot \mathbf{f}_2] \leqslant g_1 g_2$ .

En effet (TG, IX, p. 35, th.1), il existe un nombre $a > 0$ tel que $\| \mathbf{f}_1 \cdot \mathbf{f}_2 \| \leqslant a \| \mathbf{f}_1 \| \cdot \| \mathbf{f}_2 \|$ .

1 En particulier, dans toute la suite, pour une fonction $\mathbf{f}$ de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ , nous désignerons par $\| \mathbf{f} \|$ la fonction $t \mapsto \| \mathbf{f}(t) \|$ , appartenant à $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ et définie dans le même ensemble que $\mathbf{f}$ : nous signalons expressément que, dans ce chapitre, $\| \mathbf{f} \|$ est une fonction et non un nombre.

Corollaire

Si V est une algèbre normée, $f_1, f_2$ deux fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ , $g_1, g_2$ deux fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ , les relations $f_1 \preccurlyeq g_1, f_2 \preccurlyeq g_2$ entraînent $f_1 f_2 \preccurlyeq g_1 g_2$ .

La relation $\mathbf{f} \preccurlyeq \mathbf{g}$ entre fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ est transitive d’après la prop 1 ; comme elle est réflexive, la relation « $\mathbf{f} \preccurlyeq \mathbf{g}$ et $\mathbf{g} \preccurlyeq \mathbf{f}$ » est une relation d’équivalence dans $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ (E, II, p. 40).

Définition 2

Étant données deux fonctions $\mathbf{f}, \mathbf{g}$ de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ , on dit que $\mathbf{f}$ et $\mathbf{g}$ sont semblables (suivant $\mathfrak{F}$ ) et on écrit $\mathbf{f} \asymp \mathbf{g}$ si on a $\mathbf{f} \preccurlyeq \mathbf{g}$ et $\mathbf{g} \preccurlyeq \mathbf{f}$ .

Pour tout scalaire $\lambda \neq 0$ , la relation $\mathbf{f} \asymp \mathbf{g}$ est équivalente à $\mathbf{f} \asymp \mathbf{g} \lambda$ . Elle entraîne l’existence d’un ensemble $X \in \mathfrak{F}$ tel que la partie de $X$ formée des points où $\mathbf{f}(x) = 0$ soit identique à la partie de $X$ formée des points où $\mathbf{g}(x) = 0$ .

Exemple 5

Pour une fonction numérique $f \in \mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ , la relation $f \asymp 1$ signifie qu’il existe deux nombres $a > 0, b > 0$ tels que $a \leq |f(x)| \leq b$ dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ , ou encore que la fonction $\log |f|$ est bornée dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ : on dit alors que $f$ est logarithmiquement bornée dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ .

Exemple 6

Soit $V$ un espace normé sur un corps valué non discret $K$ , et soit $\mathbf{f}(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n$ un polynôme par rapport à $x \in K$ , à coefficients dans $V$ , tel que $a_0 \neq 0$ . Pour tout vecteur $\mathbf{b} \neq 0$ , on a $\mathbf{f}(x) \asymp \mathbf{b} x^n$ lorsque $|x|$ tend vers $+\infty$ .

Exemple 7

Nous avons vu qu’on a $\sin^2 x \preccurlyeq \sin x$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , mais on n’a pas $\sin^2 x \asymp \sin x$ , bien que ces deux fonctions s’annullent aux mêmes points.

Exemple 8

On a $x^2 + xy + y^2 \asymp x^2 + y^2$ lorsque $(x, y)$ tend vers $(0, 0)$ dans $\mathbf{R}^2$ , mais non $xy \asymp x^2 + y^2$ .

Il résulte aussitôt de la prop. 3 de V, p. 3, que si $f_1, f_2, g_1, g_2$ sont des fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, K)$ (K corps valué quelconque), les relations $f_1 \asymp g_1$ et $f_2 \asymp g_2$ entraînent $f_1 f_2 \asymp g_1 g_2$ .

On notera par contre que les relations $f_1 \asymp g_1, f_2 \asymp g_2$ n’entraînent pas $f_1 + f_2 \asymp g_1 + g_2$ , comme le montre l’exemple où $f_1(x) = g_1(x) = x^2, f_2(x) = -(x^2 + x), g_2(x) = -(x^2 - 1)$ , $x$ réel tendant vers $+\infty$ .

Les relations de comparaison $\mathbf{f} \preccurlyeq \mathbf{g}$ , $\mathbf{f} \asymp \mathbf{g}$ sont dites relations faibles. On dit que deux fonctions $\mathbf{f}, \mathbf{g}$ de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ sont faiblement comparables si elles vérifient l’une (au moins) des deux relations $\mathbf{f} \preccurlyeq \mathbf{g} ; \mathbf{g} \preccurlyeq \mathbf{f}$ .

Remarque 3

Deux fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ ne sont pas nécessairement faiblement comparables, comme le montre l’exemple des fonctions 1 et $x \sin x$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ .

Remarque 4

Désignons par $R_0$ la relation $\mathbf{f} \asymp \mathbf{g}$ dans $(\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V), \mathscr{H}_0(\mathfrak{F}, V))$ , et par $\mathscr{H}_0(\mathfrak{F}, V)$ l’ensemble quotient $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)/R_0$ ; on notera que la relation $R_\infty$ entraîne $R_0$ . Par passage au quotient, la relation $\mathbf{f} \preccurlyeq \mathbf{g}$ donne, d’après la prop. 1 de V, p. 3, une relation d’ordre dans $\mathscr{H}_0(\mathfrak{F}, V)$ (E, III, p. 3) ; l’exemple qui précède prouve que $\mathscr{H}_0(\mathfrak{F}, V)$ n’est pas totalement ordonné par cette relation.

2. Relations de comparaison: II. Relations fortes

Définition 3

Étant données deux fonctions numériques $f, g$ appartenant à $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ et qui sont $\geqslant 0$ dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ , on dit que $f$ est négligeable devant $g$ , ou que $g$ est prépondérante sur $f$ (suivant $\mathfrak{F}$ ), et on écrit $f \ll g$ ou $g \gg f$ si, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe un ensemble $X \in \mathfrak{F}$ tel que $f(t) \leqslant \varepsilon g(t)$ pour tout $t \in X$ .

Étant donnés deux espaces normés $V_1, V_2$ , et deux fonctions $\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2$ appartenant respectivement à $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_1)$ et $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_2)$ , on dit que $\mathbf{f}_1$ est négligeable devant $\mathbf{f}_2$ (suivant $\mathfrak{F}$ ) et on écrit $\mathbf{f}_1 \ll \mathbf{f}_2$ ou $\mathbf{f}_2 \gg \mathbf{f}_1$ si on a $\| \mathbf{f}_1 \| \ll \| \mathbf{f}_2 \|$ .

Pour tout scalaire $\lambda \neq 0$ , la relation $\mathbf{f}_1 \ll \mathbf{f}_2 \lambda$ est équivalente à $\mathbf{f}_1 \ll \mathbf{f}_2$ . La relation $\mathbf{f}_1 \ll \mathbf{f}_2$ entraîne $\mathbf{f}_1 \ll \mathbf{f}_2$ , mais ne lui est pas équivalente.

On notera que la relation $\mathbf{f}_1 \leqslant \mathbf{f}_2$ n’entraîne nullement la relation « $\mathbf{f}_1 \leqslant \mathbf{f}_2$ ou $\mathbf{f}_1 \asymp \mathbf{f}_2$ » : on a $\sin x \leqslant 1$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , mais aucune des relations $\sin x \leqslant 1$ , $\sin x \asymp 1$ n’est vraie.

Exemple 1

La relation $\mathbf{f} \ll 1$ signifie que $\mathbf{f}$ tend vers 0 suivant $\mathfrak{F}$ .

Exemple 2

Lorsque $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres réels tels que $\alpha < \beta$ , on a $x^\alpha \ll x^\beta$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ . De même, lorsque $m$ et $n$ sont deux entiers rationnels tels que $m < n$ , on a $z^m \ll z^n$ lorsque le nombre complexe $z$ tend vers $\infty$ .

Exemple 3

Lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , on a $x^n \ll e^x$ pour tout entier $n$ (III, p. 16).

Exemple 4

Dans $\mathbf{R}^2$ , on a, lorsque $(x, y)$ tend vers $(0, 0)$

x^2 + y^2 \ll |x| + |y|.

Les propositions suivantes se déduisent immédiatement de la déf. 3:

Proposition 4

Si $f, g, h$ sont trois fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ , les relations $f \leqslant g$ et $g \ll h$ (resp. $f \ll g$ et $g \leqslant h$ ) entraînent $f \ll h$ .

Proposition 5

Soient $\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2$ deux fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ , $g$ une fonction de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ . Les relations $\mathbf{f}_1 \ll g$ et $\mathbf{f}_2 \ll g$ entraînent $\mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2 \ll g$ .

D’autre part, le même raisonnement que pour la prop. 3 de V, p. 3, montre que:

Proposition 6

Avec les notations de la prop. 3, les relations $\mathbf{f}_1 \ll g_1$ et $\mathbf{f}_2 \ll g_2$ (resp. $\mathbf{f}_1 \leqslant g_1$ et $\mathbf{f}_2 \leqslant g_2$ ) entraînent $[\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2] \ll g_1 g_2$ .

La prop. 4 montre que la relation $\mathbf{f} \ll \mathbf{g}$ entre fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ est transitive; mais elle n’est pas réflexive: de façon précise, la relation $\mathbf{f} \ll \mathbf{f}$ entraîne que $\mathbf{f}$ est nulle dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ (autrement dit, $\mathbf{f}$ est équivalente à 0 modulo $R_\infty$ ); en effet, pour un $\varepsilon$ tel que $0 < \varepsilon < 1$ il existe $X \in \mathfrak{F}$ tel que $\| \mathbf{f}(x) \| \leqslant \varepsilon \| \mathbf{f}(x) \|$ pour tout $x \in X$ , ce qui n’est possible que si $\mathbf{f}(x) = 0$ pour tout $x \in X$ . Il en résulte que la relation « $\mathbf{f} \ll \mathbf{g}$ et $\mathbf{g} \ll \mathbf{f}$ » est transitive et symétrique, mais non réflexive: ce n’est donc pas une relation d’équivalence (elle signifie qu’il existe un ensemble $X \in \mathfrak{F}$ tel que $\mathbf{f}(x) = \mathbf{g}(x) = 0$ pour tout $x \in X$ ).

Proposition 7

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ , la relation $f - g \ll f$ est équivalente à $f - g \ll g$ .

En effet, $f - g \ll f$ signifie que, pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $X \in \mathfrak{F}$ tel que $\|f(x) - g(x)\| \leq \varepsilon \|f(x)\|$ pour tout $x \in X$ . On en tire $(1 - \varepsilon) \|f(x)\| \leq \|g(x)\|$ , et par suite $f \preceq g$ , d’où (p. 5, prop. 4) $f - g \ll g$ .

Corollaire

La relation $f - g \ll f$ est une relation d’équivalence dans $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ .

En effet, si $f - g \ll f$ et $g - h \ll g$ , on a $f - g \ll g$ , d’où (V, p. 5, prop. 5) $f - h \ll g$ , et par suite, comme $g \preceq f$ , $f - h \ll f$ , ce qui montre que la relation considérée est transitive; elle est symétrique d’après la prop. 7 et est évidemment réflexive, d’où le corollaire.

Définition 4

Étant données deux fonctions $f, g$ de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ , on dit que $f$ et $g$ sont équivalentes (suivant $\mathfrak{F}$ ) et on écrit $f \sim g$ si on a $f - g \ll f$ .

La relation $f \sim g$ entraîne $f \succeq g$ , mais ne lui est pas équivalente.

Exemple 5

Si $a$ est une fonction constante et $\neq 0$ dans $E$ , la relation $f \sim a$ signifie que $f$ tend vers $a$ suivant $\mathfrak{F}$ .

Exemple 6

Soit $V$ un espace normé sur un corps valué non discret $K$ , et soit $f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n$ un polynôme par rapport à $x \in K$ , à coefficients dans $V$ , tel que $a_0 \neq 0$ . On a $f(x) \sim a_0 x^n$ lorsque $|x|$ tend vers $+\infty$ .

Exemple 7

Lorsque $x$ réel tend vers $+\infty$ , on a $\left(1 + \frac{1}{x}\right) \sin x \sim \sin x$ .

Exemple 8

Lorsque la variable complexe $z$ tend vers $0$ , on a $e^z - 1 \sim z$ . Plus généralement, si $V$ est un espace normé sur un corps valué $K$ , $f$ une fonction définie dans un voisinage de $x_0 \in K$ , à valeurs dans $V$ , et admettant au point $x_0$ une dérivée $f'(x_0) \neq 0$ , on a, lorsque $x$ tend vers $x_0$ , $f(x) - f(x_0) \sim f'(x_0)(x - x_0)$ (I, p. 2, déf. 1).

Exemple 9

Lorsque $(x, y)$ tend vers $(0, 0)$ dans $\mathbf{R}^2$ , on a

\sqrt{\sin^2 x + \sin^2 y} \sim \sqrt{x^2 + y^2}.

Exemple 10

Soit $f(x, y)$ un polynôme à coefficients réels par rapport à deux variables réelles $x, y$ , n’ayant pas de terme constant. Si, lorsque $x$ tend vers $0$ en restant $> 0$ , il existe une fonction $\varphi(x)$ continue dans un intervalle $(0, a)$ et telle que $\varphi(0) = 0$ et $f(x, \varphi(x)) = 0$ pour $0 \leq x \leq a$ , on peut montrer qu’il existe un nombre rationnel $r$ et un nombre réel $\lambda \neq 0$ tels que $\varphi(x) \sim \lambda x^r$ (V, p. 48, exerc. 3).

Exemple 11

Pour tout $x > 0$ , soit $\pi(x)$ le nombre des nombres premiers qui sont $\leq x$ ; on a démontré que, lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , on a $\pi(x) \sim x/\log x^2$ .

Remarque

On notera que la relation $f \sim g$ ne signifie nullement que la différence $f - g$ tende vers 0 suivant $\mathfrak{F}$ ; cette différence peut même être non bornée, comme le montre l’exemple $x^2 + x \sim x^2$ , $x$ tendant vers $+\infty$ .

Proposition 8

Soient $K$ un corps valué, $f_1, f_2, g_1, g_2$ quatre fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, K)$ ; les relations $f_1 \sim g_1$ et $f_2 \sim g_2$ entraînent $f_1 f_2 \sim g_1 g_2$ .

1 Voir par exemple A. E. Ingham, The distribution of prime numbers (Cambridge tracts, n° 30), Cambridge University Press, 1932.

En effet, on a $f_1 f_2 - g_1 g_2 = f_1 (f_2 - g_2) + (f_1 - g_1) g_2$ ; comme $f_1 \ll g_1$ , $f_1 - g_1 \ll g_1$ et $f_2 - g_2 \ll g_2$ , on a bien $f_1 f_2 - g_1 g_2 \ll g_1 g_2$ (V, p. 5, prop. 4 et 5).

Par contre, nous avons donné dans V, p. 4, un exemple où on avait $f_1 = g_1$ , $f_2 \sim g_2$ , mais où la relation $f_1 + f_2 \asymp g_1 + g_2$ n’était pas vraie (ni a fortiori

f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2.

Les relations de comparaison $\mathbf{f} \ll \mathbf{g}$ , $\mathbf{f} \sim \mathbf{g}$ sont dites relations fortes. Deux fonctions $\mathbf{f}, \mathbf{g}$ de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$ sont dites comparables (ou fortement comparables lorsqu’on veut éviter des confusions possibles) si elles vérifient l’une des trois relations: $\mathbf{f} \ll \mathbf{g}$ , $\mathbf{f} \gg \mathbf{g}$ , ou « il existe $\lambda \neq 0$ tel que $\mathbf{f} \sim \mathbf{g} \lambda$ ».

Remarque 1

Deux fonctions peuvent être faiblement comparables sans être fortement comparables, par exemple les fonctions 1 et sin x lorsque x tend vers $+\infty$ .

Remarque 2

La définition des relations de comparaison $\mathbf{f}_1 \leqslant \mathbf{f}_2$ et $\mathbf{f}_1 \ll \mathbf{f}_2$ ne fait intervenir qu’en apparence les normes sur les espaces $V_1, V_2$ où $\mathbf{f}_1$ et $\mathbf{f}_2$ prennent respectivement leurs valeurs; elle ne dépend en réalité que des topologies de $V_1$ et $V_2$ , car les relations $\mathbf{f}_1 \leqslant \mathbf{f}_2^2$ et $\mathbf{f}_1 \ll \mathbf{f}_2$ sont remplacées par des relations équivalentes lorsqu’on remplace la norme sur $V_1$ ou $V_2$ par une norme équivalente (TG, IX, p. 32, def. 7).

3. Changement de variables

Soit $\varphi$ une application d’un ensemble $E'$ dans $E$ , telle que $\varphi^{-1}(\mathfrak{F})$ soit une base de filtre sur $E'$ . Il est clair que si $\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2$ sont des fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_1)$ et $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_2)$ respectivement, les fonctions $\mathbf{f}_1 \circ \varphi, \mathbf{f}_2 \circ \varphi$ appartiennent respectivement à $\mathscr{H}(\varphi^{-1}(\mathfrak{F}), V_1)$ et $\mathscr{H}(\varphi^{-1}(\mathfrak{F}), V_2)$ , et que la relation $\mathbf{f}_1 \leqslant \mathbf{f}_2$ (resp. $\mathbf{f}_1 \ll \mathbf{f}_2$ ) est équivalente à $\mathbf{f}_1 \circ \varphi \leqslant \mathbf{f}_2 \circ \varphi$ (resp. $\mathbf{f}_1 \circ \varphi \ll \mathbf{f}_2 \circ \varphi$ ).

4. Relations de comparaison entre fonctions strictement positives

Soit $g$ une fonction de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ , strictement positive dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ . Les relations de comparaison où figure $g$ peuvent alors se formuler d’une autre manière: la relation $\mathbf{f} \ll g$ équivaut à dire que la fonction $\| \mathbf{f} \|/g$ (qui est définie dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ ) est bornée dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ ; la relation $\mathbf{f} \ll g$ équivaut à dire que $\| \mathbf{f} \|/g$ tend vers 0 suivant $\mathfrak{F}$ . Si $f$ est une fonction de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ , la relation $f \asymp g$ signifie que $f/g$ est logarithmiquement bornée dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ , et la relation $f \sim g$ , que $f/g$ tend vers 1 suivant $\mathfrak{F}$ . Si $f$ est une fonction de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ positive dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ , dire que $f$ et $g$ sont comparables signifie donc que $f/g$ tend vers une limite (finie ou égale à $+\infty$ ) suivant $\mathfrak{F}$ .

Proposition 9

Soient f et g deux fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ strictement positives dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ . Pour que f et g soient comparables, il faut et il suffit que pour tout nombre $t \geqslant 0$ , sauf un au plus, la fonction $f - tg$ garde un signe constant $^1$ dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ .

La condition est nécessaire. En effet, si $f \ll g$ , on a $f - tg \sim -tg$ sauf pour $t = 0$ , donc $f - tg$ est strictement négative dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ , sauf pour $t = 0$ ; si $f \gg g$ , $f - tg$ est strictement positive dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ pour tout $t$ ; enfin, si $f \sim k.g$ ( $k$ constante > 0), $f - tg \sim (k - t)g$ sauf pour $t = k$ , donc, sauf peut-être pour $t = k$ , $f - tg$ a le signe de $k - t$ dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ .

La condition est suffisante. En effet, supposons que le rapport $f/g$ ait deux valeurs d’adhérence distinctes $\alpha < \beta$ suivant $\mathfrak{F}$ . Pour tout nombre $t$ tel que $\alpha < t < \beta$ , il existe alors dans tout ensemble $X \in \mathfrak{F}$ , deux points $x_1, x_2$ tels que $f(x_1)/g(x_1) < t$ et $f(x_2)/g(x_2) > t$ ; donc $f(x) - tg(x)$ ne garde pas un signe constant dans $X$ ; nous arrivons à une conclusion incompatible avec l’hypothèse. Il s’ensuit que $f/g$ n’a qu’une seule valeur d’adhérence (finie ou infinie) suivant le filtre de base $\mathfrak{F}$ , et par suite (TG, I, p. 60, corollaire) a pour limite cette valeur suivant $\mathfrak{F}$ .

Proposition 10

Soient f et g deux fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ strictement positives dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ ; pour tout $\alpha$ réel et $\neq 0$ , la relation $f \asymp g$ (resp. $f \sim g$ ) est équivalente à $f^\alpha \asymp g^\alpha$ (resp. $f^\alpha \sim g^\alpha$ ); si $\alpha > 0$ , la relation $f \ll g$ (resp. $f \ll g$ ) est équivalente à $f^\alpha \ll g^\alpha$ (resp. $f^\alpha \ll g^\alpha$ ); si $\alpha < 0$ , elle est équivalente à $f^\alpha \gg g^\alpha$ (resp. $f^\alpha \gg g^\alpha$ ).

Les démonstrations sont immédiates.

On notera que dans $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ , l’ensemble $\Gamma$ des fonctions strictement positives dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ est tel que $\Gamma/\mathbf{R}_+$ soit un groupe multiplicatif $\Gamma_\infty$ dans $\mathscr{H}_\infty(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ ; $\Gamma/\mathbf{R}_0$ est identique au groupe quotient de $\Gamma_\infty$ par le sous-groupe des classes (mod. $\mathbf{R}_+$ ) des fonctions de $\Gamma$ logarithmiquement bornées; sur $\Gamma/\mathbf{R}_0$ , la relation d’ordre déduite de la relation $f \ll g$ par passage aux quotients est compatible avec la structure de groupe de $\Gamma/\mathbf{R}_0$ , et en fait donc un groupe ordonné.

Proposition 11

Soit g une fonction de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ telle que $\lim_{x \to \mathfrak{F}} g = +\infty$ ; la relation $f \ll g$ entraîne $e^f \ll e^g$ ; la relation $f \sim g$ entraîne $\log f \sim \log g$ .

En effet, si $f \ll g, f - g = g \left( \frac{f}{g} - 1 \right)$ tend vers $-\infty$ suivant $\mathfrak{F}$ . De même, si $f \sim g$ , on a $\log f = \log g + \log \frac{f}{g}$ , donc $\log f - \log g$ tend vers 0, et il en est de même de $\frac{\log f}{\log g} - 1 = \frac{\log f - \log g}{\log g}$ .

Par contre, on notera que la relation $f \sim g$ n’entraîne pas $e^f \sim e^g$ , ni même $e^f \asymp e^g$ , comme le montre l’exemple où $f(x) = x^2, g(x) = x^2 + x$ , $x$ tendant vers $+\infty$ ; de même, la relation $f \ll g$ n’entraîne pas $\log f \ll \log g$ , comme le montre l’exemple où $f(x) = x, g(x) = x^2, x$ tendant vers $+\infty$ .

$^1$ On rappelle qu’on a défini le signe $\operatorname{sgn} x$ d’un nombre réel $x$ comme égal à $+1$ si $x > 0$ , à $-1$ si $x < 0$ , à 0 si $x = 0$ (TG, IV, p. 12). Dire qu’une fonction numérique garde un signe constant dans un ensemble signifie donc, soit qu’elle est $> 0$ en tout point de cet ensemble, soit qu’elle est $< 0$ en tout point de l’ensemble, soit enfin qu’elle est identiquement nulle dans l’ensemble.

Définition 5

Soit g une fonction de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ , strictement positive dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ , et telle que $\lim_{\mathfrak{F}} g = 0$ ou $\lim_{\mathfrak{F}} g = +\infty$ . On dit qu’une fonction $f \in \mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ est d’ordre $\varphi$ (fini ou infini) par rapport à g si on a $\lim_{\mathfrak{F}} \log (|f|/|\log g|) = \varphi$ .

On notera que si $f$ est d’ordre $\varphi$ par rapport à $g$ , $f$ est d’ordre $-\varphi$ par rapport à $1/g$ ; on peut donc considérer uniquement le cas où $g(x)$ tend vers $+\infty$ suivant $\mathfrak{F}$ .

Proposition 12

Soit $g$ une fonction de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ telle que $\lim_{\mathfrak{F}} g = +\infty$ ; soit $f$ une fonction de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ .

a) Pour que $f$ soit d’ordre $+\infty$ par rapport à $g$ , il faut et il suffit que $f \gg g^\alpha$ pour tout $\alpha \geqslant 0$ .

b) Pour que $f$ soit d’ordre $-\infty$ par rapport à $g$ , il faut et il suffit que $f \ll g^{-\alpha}$ pour tout $\alpha > 0$ .

c) Pour que $f$ soit d’ordre fini et égal à $\varphi$ par rapport à $g$ , il faut et il suffit que, pour tout $\varepsilon > 0$ , on ait $g^{\varphi-\varepsilon} \ll f \ll g^{\varphi+\varepsilon}$ .

Démontrons par exemple c). Si l’ordre de $f$ par rapport à $g$ est $\varphi$ , pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe un ensemble $M \in \mathfrak{F}$ , tel que, pour tout $x \in M$ , on ait

\left( \varphi - \frac{\varepsilon}{2} \right) \log g(x) \leqslant \log |f(x)| \leqslant \left( \varphi + \frac{\varepsilon}{2} \right) \log g(x),

ou encore

(g(x))^{\varphi-\frac{\varepsilon}{2}} \leqslant |f(x)| \leqslant (g(x))^{\varphi+\frac{\varepsilon}{2}}

; comme

\lim_{\mathfrak{F}} g = +\infty

, on a donc

g^{\varphi-\varepsilon} \ll f \ll g^{\varphi+\varepsilon}

pour tout

\varepsilon > 0

; la réciproque est immédiate. Les démonstrations de a) et b) sont analogues.

On notera que si $f$ est d’ordre fini $\varphi$ par rapport à $g$ , $fg^{-\varphi}$ est d’ordre 0 par rapport à $g$ , et réciproquement; si $f_1$ (resp. $f_2$ ) est d’ordre $\rho_1$ (resp. $\rho_2$ ) par rapport à $g$ , et si $\rho_1 + \rho_2$ est défini, $f_1 f_2$ est d’ordre $\rho_1 + \rho_2$ par rapport à $g$ .

Remarque 1

On observera que lorsque $f$ est d’ordre fini $\varphi$ par rapport à $g$ , le rapport $f/g^\varphi$ ne tend pas nécessairement vers une limite; par exemple, toute fonction logarithmiquement bornée est d’ordre 0 par rapport à $g$ , mais n’a pas nécessairement de limite suivant $\mathfrak{F}$ .

Remarque 2

Une fonction $f$ définie dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ n’a pas nécessairement un ordre déterminé (fini ou non) par rapport à $g$ , car les fonctions ayant un ordre déterminé par rapport à $g$ sont comparables à toutes les puissances de $g$ , sauf une au plus. Or, $f$ n’a pas nécessairement cette propriété, comme on le voit sur l’exemple $g(x) = x$ , $f(x) = 1 + x^2 \sin^2 x$ (x tendant vers $+\infty$ ). Dans cet exemple, $f$ est comparable à $g^\alpha$ pour $\alpha < 0$ et $\alpha > 2$ ; si on prenait $f(x) = e^x \sin^2 x + e^{-x} \cos^2 x$ , $f$ ne serait comparable à aucune puissance (positive ou négative) de $g$ .

5. Notations

Étant donnée une fonction numérique $f \in \mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ , il est souvent commode, dans une formule, de noter $O(f)$ une fonction dominée par $f$ , et $o(f)$ une fonction négligeable devant $f$ . Lorsque, dans une démonstration, interviennent plusieurs fonctions dominées par une même fonction $f$ (resp. négligeables devant $f$ ), on les notera $O_1(f), O_2(f)$ , etc. (resp. $o_1(f), o_2(f)$ , etc.).

Beaucoup d’auteurs notent indistinctement $O(f)$ (resp. $o(f)$ ) toutes les fonctions intervenant dans une démonstration et dominées par $f$ (resp. négligeables devant $f$ ), par un abus de langage qui n’est pas sans créer des risques de confusion.

Avec ces notations, les prop. 1, 2, 3 (V, p. 3) se traduisent comme suit: si $g = O_1(f)$ et $h = O(g)$ , alors $h = O_2(f)$ ; on peut écrire

(1)

\sum_{i=1}^n \lambda_i O_i(f) = O_{n+1}(f) \quad (\lambda_i \text{ scalaires})

(2)

O(f)O(g) = O(fg).

De même, la prop. 4 (V, p. 5) montre que si $g = O_1(f)$ et $h = o(g)$ (resp. $g = o_1(f)$ et $h = O(g)$ ), on a $h = o_2(f)$ , et les prop. 5 et 6 (V, p. 5) s’expriment sous la forme

(3)

\sum_{i=1}^n \lambda_i o_i(f) = o_{n+1}(f) \quad (\lambda_i \text{ scalaires})

(4)

o(f)o(g) = o(fg).

La relation $f \sim g$ équivaut à $f = g + o(g)$ . La notation $O(1)$ (resp. $o(1)$ ) désigne une fonction bornée dans un ensemble de $\mathfrak{F}$ (resp. une fonction tendant vers 0 suivant $\mathfrak{F}$ ).

Exercices

See the exercises for § 1.