§ 2. Développements asymptotiques

1. Échelles de comparaison

Soient $E$ un ensemble filtré par un filtre de base $\mathfrak{F}$, et $K$ un corps valué non discret (le plus souvent $K = \mathbf{R}$ ou $K = \mathbf{C}$). Dans l’ensemble des fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, K)$ non équivalentes à 0 modulo $R_\infty$ (c’est-à-dire telles que dans tout ensemble de $\mathfrak{F}$, il existe un point au moins où la fonction ne s’annule pas), la relation « $f \ll g$ ou $f = g$ » est une relation d’ordre.

En d’autres termes, si $f$ et $g$ sont deux fonctions de $\mathscr{E}$, on a toujours entre $f$ et $g$ une (et une seule) des trois relations $f \ll g$, $g \ll f$, $f = g$. Il s’ensuit que dans $\mathscr{E}$, la relation $f \asymp g$ (et a fortiori $|f| \sim a|g|$, où $a$ est un nombre > 0) entraîne $f = g$.

Toute partie d’une échelle de comparaison est évidemment une échelle de comparaison.

2. Parties principales et développements asymptotiques

Soit $\mathscr{E}$ une échelle de comparaison formée de fonctions à valeurs dans un corps valué non discret $K$. Soit $V$ un espace normé sur $K$, et soit $f$ une fonction de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$; s’il existe une fonction $g \in \mathscr{E}$, et un élément $a \neq 0$ de $V$ tels que $f \sim a g$, on dit que $a g$ est une partie principale de $f$ relativement à l’échelle $\mathscr{E}$. D’après la déf. 1 de $V$, p. 10, $f$ ne peut avoir qu’une seule partie principale relative à $\mathscr{E}$, car si $g_1$, $g_2$ sont deux fonctions de $\mathscr{E}$, $a_1$, $a_2$ deux éléments $\neq 0$ de $V$, la relation a_1 g_1 \sim a_2 g_2 entraîne |g_1| \asymp |g_2|, et par suite g_1 = g_2, d’où (a_2 - a_1)g_1 \ll g_1, et comme g_1 n’est identiquement nulle dans aucun ensemble de $\mathscr{E}$, cela entraîne $a_2 = a_1$.

Si $f$ admet une partie principale relativement à une échelle de comparaison $\mathscr{E}$, elle admet la même partie principale relativement à toute échelle de comparaison $\mathscr{E}' \supset \mathscr{E}$.

Pour exprimer que $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda$ est un développement asymptotique de $f$ à la précision $g_\alpha$, on se bornera le plus souvent à écrire

s’il figure plusieurs fonctions dans la démonstration) conformément aux notations de V, p. 9 et 10.

De deux développements asymptotiques (de deux fonctions distinctes ou non) relativement à la même échelle $\mathscr{E}$, on dit que celui dont la précision a le plus grand indice est le plus précis.

Si $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda$ est un développement asymptotique de $\mathbf{f}$ à la précision $g_\alpha$, pour tout $\beta < \alpha$, $\sum_{\lambda \leq \beta} a_\lambda g_\lambda$ est un développement asymptotique de $\mathbf{f}$ à la précision $g_\beta$ (V, p. 5, prop. 5): on dit qu’on l’obtient en réduisant à la précision $g_\beta$ le développement donné $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda$ de $\mathbf{f}$.

Si $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda$ et $\sum_{\lambda \leq \alpha} b_\lambda g_\lambda$ sont des développements asymptotiques à la même précision $g_\alpha$ de deux fonctions $\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2$, $\sum_{\lambda \leq \alpha} (a_\lambda + b_\lambda) g_\lambda$ est un développement asymptotique de $\mathbf{f}_1 + \mathbf{f}_2$ à la précision $g_\alpha$ (V, p. 7, prop. 5) et pour tout scalaire $c$, $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda c g_\lambda$ est un développement asymptotique de $\mathbf{f}_1 c$ à la précision $g_\alpha$. On en déduit que si une fonction $\mathbf{f}$ admet un développement asymptotique à la précision $g_\alpha$, ce développement est unique: il suffit de voir que la fonction 0 ne peut admettre de développement asymptotique à la précision $g_\alpha$ ayant des coefficients $\neq 0$. Or, si $0 = \sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda + r_\alpha$, et si $\gamma$ est le plus petit des indices $\lambda \leq \alpha$ tel que $a_\lambda \neq 0$, on aurait $a_\gamma g_\gamma = - \sum_{\gamma < \lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda - r_\alpha \ll g_\gamma$, ce qui est absurde.

Dire qu’une fonction $\mathbf{f}$ admet un développement asymptotique à la précision $g_\alpha$, dont tous les coefficients sont nuls, équivaut à dire que $\mathbf{f} \ll g_\alpha$. Si $\mathbf{f}$ admet un développement asymptotique $\sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda$ à la précision $g_\alpha$, dont les coefficients ne sont pas tous nuls, et si $\gamma$ est le plus petit des indices $\lambda$ tels que $a_\lambda \neq 0$, $a_\gamma g_\gamma$ est la partie principale de $\mathbf{f}$ relativement à l’échelle $\mathscr{E}$, car on a $\mathbf{f} - a_\gamma g_\gamma = \sum_{\gamma < \lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda + r_\alpha \ll g_\gamma$; de même, si $\mu \leq \alpha$ est un indice tel que $a_\mu \neq 0$, $a_\mu g_\mu$ est la partie principale de $\mathbf{f} - \sum_{\lambda < \mu} a_\lambda g_\lambda$.

Les développements asymptotiques les plus importants dans les applications sont les développements relatifs à l’échelle des $x^{-n}$ (resp. des $z^{-n}$), où $n$ est entier positif ou négatif, lorsque $x$ réel tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ (resp. lorsque $z$ complexe tend vers $\infty$), ou relatifs à l’échelle des $(x-c)^n$ (resp. $(z-c)^n$) lorsque $x$ réel tend vers $c$ à droite ou à gauche (resp. lorsque $z$ complexe tend vers $c$). On a vu dans I, p. 29 que toute fonction vectorielle d’une variable réelle $x$, $k$ fois dérivable au point $c \in \mathbf{R}$, admet en ce point un développement de Taylor d’ordre $k$, c’est-à-dire un développement asymptotique à la précision $(x-c)^k$ relatif à l’échelle des $(x-c)^n$.

3. Sommes et produits de développements asymptotiques

Si $f_1, f_2$ admettent des développements asymptotiques à la précision $g_\alpha$ et $g_\beta$ respectivement, relativement à une échelle de comparaison $\mathscr{E}$, on en déduit des développements à la précision $g_{\min(\alpha,\beta)}$ en limitant à cette précision les deux développements; nous avons vu alors dans V, p. 13, comment on obtient un développement asymptotique de $f_1 + f_2$ à la précision $g_{\min(\alpha,\beta)}$.

Soient $V_1, V_2$ et $V$ trois espaces normés sur le corps $K$, et soit $(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mapsto [\mathbf{x}, \mathbf{y}]$ une application bilinéaire continue de $V_1 \times V_2$ dans $V$; nous supposerons d’autre part dans tout le reste de ce paragraphe, que l’échelle $\mathscr{E}$ soit telle que le produit de deux fonctions quelconques de $\mathscr{E}$ appartienne encore à $\mathscr{E}$ (ce qui est le cas pour toutes les échelles de comparaison données en exemples (dans V, p. 10).

Soient alors $f_1, f_2$ des fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_1)$ et $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V_2)$ respectivement, admettant par rapport à l’échelle $\mathscr{E}$ des développements asymptotiques $f_1 = \sum_{\lambda \leq \alpha} a_\lambda g_\lambda + r_\alpha, \quad f_2 = \sum_{\mu \leq \beta} b_\mu g_\mu + r_\beta$ à la précision $g_\alpha$ et $g_\beta$ respectivement. Supposons en outre que ni les $a_\lambda$ ni les $b_\mu$ ne soient tous nuls, et soient $a_{\gamma, g_\gamma}$ et $b_{\delta, g_\delta}$ les parties principales de $f_1$ et $f_2$. Par hypothèse, on peut écrire $g_\gamma g_\delta = g_\beta$ et $g_\delta g_\alpha = g_\sigma$; montrons que la somme $\sum [a_\lambda, b_\mu] g_\lambda g_\mu$, étendue aux couples $(\lambda, \mu)$ tels que $g_{\min(\alpha, \sigma)} \ll g_\lambda g_\mu$, est un développement asymptotique de $[f_1, f_2]$ à la précision $g_{\min(\alpha, \sigma)}$. En effet, la différence entre $[f_1, f_2]$ et cette somme est somme d’un nombre fini de termes, qui sont soit de la forme $[a_\lambda, b_\mu] g_\lambda g_\mu$ avec $g_\lambda g_\mu \ll g_{\min(\alpha, \sigma)}$, soit de la forme $[a_\lambda, r_\mu] g_\lambda$, où $\lambda \geq \gamma$, soit de la forme $[r_\alpha, b_\mu] g_\mu$, où $\mu \geq \delta$; mais comme $[\mathbf{x}, \mathbf{y}]$ est continue, on a (V, p. 3, prop. 3 et V, p. 5, prop. 6) $[a_\lambda, r_\mu] g_\lambda \ll r_\beta g_\lambda \ll g_\delta g_\lambda = g_\sigma$ pour $\lambda \geq \gamma$, et de même $[r_\alpha, b_\mu] g_\mu \ll r_\alpha g_\mu \ll g_\alpha g_\delta = g_\sigma$ pour $\mu \geq \delta$, d’où la proposition (V, p. 5, prop. 5).

Si tous les $a_\lambda$ sont nuls, on a $[f_1, f_2] \ll g_\alpha g_\beta$, autrement dit, on a un développement asymptotique de $[f_1, f_2]$ à termes nuls, à la précision $g_\alpha g_\beta$; de même si tous les $a_\lambda$ et tous les $b_\mu$ sont nuls, on a un développement asymptotique de $[f_1, f_2]$ à termes nuls, à la précision $g_\alpha g_\beta$.

On appliquera surtout le résultat précédent au cas où $V$ est une algèbre normée sur $K$, et la fonction bilinéaire $[\mathbf{x}, \mathbf{y}]$ le produit $xy$ dans cette algèbre; les cas les plus importants sont ceux où $V$ est égal à $\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$.

En particulier, si $f_i$ (1 $\leq i \leq n$) sont $n$ fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, K)$ admettant chacune un développement asymptotique par rapport à $\mathscr{E}$, on pourra obtenir un développement asymptotique par rapport à $\mathscr{E}$ pour tout polynôme $\sum_{(v_i)} a_{v_1 v_2 \ldots v_n} f_1^{v_1} \ldots f_n^{v_n}$ par rapport aux $f_i$, à coefficients dans un espace normé $V$; les règles qui précèdent permettent en outre de déterminer la précision du développement obtenu, connaissant celles des développements des fonctions $f_i$.

4. Composition des développements asymptotiques

Soit $f$ une fonction de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$ (resp. $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{C})$) admettant un développement asymptotique à la précision $g_\alpha$ par rapport à une échelle $\mathscr{E}$, et ayant pour limite 0 suivant le filtre de base $\mathfrak{F}$. Soit d’autre part $h$ une fonction à valeurs dans l’espace normé $V$ sur $\mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}$), définie dans un voisinage du point $0$ dans $\mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}$) et $n$ fois dérivable dans ce voisinage; on a donc dans ce voisinage,

(I, p. 29), d’où, dans un ensemble convenable de $\mathfrak{F}$,

Nous avons vu, au no 3, comment on peut former un développement asymptotique de $c_0 + c_1 f + \cdots + c_n f^n$, à une précision $g_\rho$ bien déterminée par la précision du développement de $f$; d’autre part, supposons que les coefficients du développement asymptotique de $f$ ne soient pas tous nuls, et que $a_{\gamma g_\gamma}$ soit la partie principale de $f$, et soit $g_\sigma = g_\gamma^\sigma$; si $\sigma < \rho$, on aura un développement de $h \circ f$ à la précision $g_\sigma$ en limitant le développement de $\sum_{k=0}^n c_k f^k$ à cette précision; si au contraire $\rho \leq \sigma$, le développement de $\sum_{k=0}^n c_k f^k$ est aussi un développement de $h \circ f$ à la précision $g_\rho$.

Si tous les termes de développement asymptotique de $f$ sont nuls et si $g_\alpha \ll 1$, on a $f \ll g_\alpha$, donc $f^k \ll g_\alpha^k \ll g_\alpha$ pour tout entier $k > 0$; si $c_m$ est le premier coefficient d’indice $> 0$ qui ne soit pas nul (en supposant que les $c_k$ d’indice $k > 0$ ne soient pas tous nuls), $c_0$ est un développement asymptotique de $h \circ f$ à la précision $g_\alpha^m$.

Dans le reste de ce no, nous nous bornerons au cas où les fonctions de $\mathscr{E}$ ont des valeurs réelles et strictement positives dans un ensemble de $\mathfrak{F}$, et nous ne considérerons que les développements asymptotiques de fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$. Supposons d’abord que pour toute fonction $g \in \mathscr{E}$ et tout nombre réel $v$, $g^v$ appartienne encore à $\mathscr{E}$: cette condition est par exemple remplie par l’échelle des $x^\alpha$, ou celle des $x^\alpha |\log x|^\beta$ ($\alpha$ et $\beta$ réels quelconques) au voisinage de $+\infty$ ou au voisinage de $0$ dans $\mathbf{R}$. Cette propriété entraîne que le quotient de deux fonctions de $\mathscr{E}$ appartient encore à $\mathscr{E}$. Cela étant, d’un développement asymptotique relatif à $\mathscr{E}$ d’une fonction $f \in \mathscr{H}(\mathfrak{F}, \mathbf{R})$, à la précision $g_\alpha$, on peut déduire un développement de $|f|^v$ pour tout nombre réel $v$. Bornons-nous en effet au cas où les coefficients du développement de $f$ ne sont pas tous nuls, et soit $a_{\gamma g_\gamma}$ la partie principale de $f$; on peut écrire $|f|^v = |a_v|^{g_\gamma}(1 + h)^v$, avec

En vertu des hypothèses faites $\sum_{\gamma < \lambda < \alpha} \frac{a_\lambda}{a_\gamma} \frac{g_\lambda}{g_\gamma}$ est un développement asymptotique de $h$, à la précision $g_\alpha/g_\gamma$; comme $h$ tend vers $0$ suivant $\mathfrak{F}$, la méthode décrite ci-dessus donne un développement asymptotique de $(1 + h)^v$, puis un développement de $|f|^v$ en multipliant par $|a_v|^{g_\gamma}$.

Sous les mêmes hypothèses sur $f$, on peut écrire

5. Développements asymptotiques à coefficients variables

On peut généraliser la notion de partie principale et celle de développement asymptotique, de la manière suivante. Soit $\mathscr{E}$ une échelle de comparaison formée de fonctions réelles (resp. complexes) telles que, pour chacune d’elles, il existe un ensemble de $\mathfrak{F}$ où la fonction ne s’annule en aucun point. Soit d’autre part $\mathscr{C}$ un ensemble de fonctions de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$, satisfaisant aux trois conditions suivantes:

(CO_I) Pour toute fonction $a \in \mathscr{C}$, on a $a \ll 1$.

(CO_{II}) La relation $a \ll 1$ pour une fonction $a \in \mathscr{C}$ entraîne $a = 0$.

(CO_{III}) $\mathscr{C}$ est un espace vectoriel sur $\mathbf{R}$ (resp. $\mathbf{C}$).

Soit alors $f$ une fonction quelconque de $\mathscr{H}(\mathfrak{F}, V)$; s’il existe une fonction $g \in \mathscr{E}$ et une fonction non nulle $a \in \mathscr{C}$ telles que $f - a g \ll g$, on dira que $a g$ est une partie principale de $f$, relative à l’échelle de comparaison $\mathscr{E}$ et au domaine de coefficients $\mathscr{C}$. S’il existe une telle partie principale, elle est unique: supposons en effet qu’il existe deux telles parties principales $a_1 g_1$ et $a_2 g_2$; on ne peut avoir $g_1 \ll g_2$, car en vertu de (CO_I) on déduirait de là $a_1 g_1 \ll g_2$, et $f - a_1 g_1 \ll g_1 \ll g_2$, donc $f \ll g_2$; mais alors on aurait aussi $a_2 g_2 \ll g_2$, et par suite $a_2 \ll 1$, contrairement à l’hypothèse $a_2 \neq 0$ et à la condition (CO_{II}). On a donc nécessairement $g_1 = g_2$; des relations $f - a_1 g_1 \ll g_1$, $f - a_2 g_1 \ll g_1$, on tire alors $(a_2 - a_1) g_1 \ll g_1$ d’où $a_2 - a_1 \ll 1$, et par suite $a_2 = a_1$ en vertu de (CO_{II}) et (CO_{III}).