En effet, il existe par hypothèse $b \geqslant a$ et un nombre $c' > 0$ tels que

d’où comme d’autre part, on peut supposer $b$ assez grand pour que $\int_a^b g(t)\ dt > 0$, il existe $c'' > 0$ tel que $\left\| \int_a^b \mathbf{f}(t)\ dt \right\| \leqslant c'' \int_a^b g(t)\ dt$; en posant $c = \max (c', c'')$, on a donc, pour tout $x \geqslant b$, d’où la proposition.

Ce critère ne permet pas de conclure lorsque $1/x^{1+\alpha} \ll f(x) \ll 1/x$ pour tout exposant $\alpha > 0$, par exemple pour $f(x) = 1/x(\log x)^\mu$ ($\mu > 0$). Mais dans ce dernier cas, $f$ a pour primitive $\frac{1}{1-\mu} (\log x)^{1-\mu}$ si $\mu \neq 1$ et log log $x$ si $\mu = 1$. Par suite :

De façon générale, désignons par $l_n(x)$, pour tout entier $n \geqslant 0$, la fonction définie par récurrence (pour $x$ assez grand) par les relations $l_0(x) = x$, $l_n(x) = \log(l_{n-1}(x))$ pour $n \geqslant 1$ ; on dit que $l_n(x)$ est le $n$-ème logarithme itéré de $x$ (cf. Appendix). On vérifie aussitôt que $\frac{1}{1-\mu} (l_n(x))^{1-\mu}$ est une primitive de

pour $\mu \neq 1$, et $l_{n+1}(x)$ une primitive de

Par suite :

Chaque critère logarithmique est donc applicable à des fonctions pour lesquelles les critères d’ordre inférieur ne peuvent donner de conclusion (cf. V, p. 52, exerc. 5 b) et V, p. 53, exerc. 8).

En raison de son utilité, nous traduirons le critère d’ordre 0 pour les intégrales $\int_a^a f(t) \, dt$, où $f$ est réglée et $\geqslant 0$ dans l’intervalle non compact $]\alpha, a]$:

Proposition 5 (« critère logarithmique d’ordre 0 »). — Si, au voisinage de $\alpha$, on a $f(x) \leqslant 1/(x-\alpha)^{\mu}$ pour un $\mu < 1$, l’intégrale $\int_a^a f(t) \, dt$ est convergente; si $f(x) \geqslant 1/(x-\alpha)^{\mu}$ pour un $\mu \geqslant 1$, l’intégrale $\int_a^a f(t) \, dt$ est infinie.

Nous laissons au lecteur le soin de traduire de même le critère logarithmique d’ordre $n$.

L’application des critères logarithmiques est immédiate si on sait obtenir une partie principale de $f$ par rapport à une échelle de comparaison contenant les fonctions qui interviennent dans ces critères: si $f_1$ est cette partie principale, l’intégrale $\int_a^{+\infty} f(t) \, dt$ est convergente ou infinie en même temps que $\int_a^{+\infty} f_1(t) \, dt$, et pour cette dernière intégrale, l’application des critères logarithmiques est immédiate.

1° Si l’intégrale $\int_a^{+\infty} g(t)dt$ est convergente, la relation $\mathbf{f} \ll g$ (resp. $\mathbf{f} \sim c g$, où $c$ est constant) entraîne $\int_x^{+\infty} \mathbf{f}(t) \, dt \ll \int_x^{+\infty} g(t) \, dt$ (resp. $\int_x^{+\infty} \mathbf{f}(t) \, dt \sim c \int_x^{+\infty} g(t) \, dt$).

2° Si l’intégrale $\int_a^{+\infty} g(t) \, dt$ est infinie, la relation $\mathbf{f} \ll g$ (resp. $\mathbf{f} \sim c g$) entraîne

quels que soient $\alpha$ et $\beta$ dans $]a, +\infty[$.

Il suffit de démontrer la proposition concernant la relation $f \ll g$, puisque, si $c \neq 0$, la relation $f \sim cg$ est équivalente à $f - cg \ll g$.

La première partie est une conséquence immédiate du théorème de la moyenne, car si on a $\|f(x)\| \leq \varepsilon g(x)$ pour $x \geq x_0$, on en tire

En second lieu, supposons que $\int_a^{+\infty} g(t) \, dt = +\infty$. Si $\|f(x)\| \leq \varepsilon g(x)$ pour $x \geq x_0 \geq \max(\alpha, \beta)$, on a Or, il existe $x_1 \geq x_0$ tel que pour tout $x \geq x_1$ d’où, pour $x \geq x_1$ ce qui achève la démonstration, $\varepsilon > 0$ étant arbitraire.

En d’autres termes, on peut intégrer les deux membres d’une relation forte $f \ll g$, $f \sim ag$, lorsque $g$ est positive dans un intervalle $(a, +\infty)$, sans que la relation cesse d’avoir lieu entre les primitives des deux membres, pourvu qu’on ait soin d’intégrer de $x$ à $+\infty$ si $\int_a^{+\infty} g(t) \, dt$ est convergente et de $\alpha$ à $x$ ($\alpha$ quelconque dans $(a, +\infty)$) dans le cas contraire.

On notera que les prop. 1 (V, p. 18) et 6 (V, p. 20) sont encore valables lorsque $\mathfrak{F}$ est la base de filtre formée de la trace des intervalles $(t, +\infty)$ (où $t > a$) sur le complémentaire d’un ensemble dénombrable (cf. I, p. 23, th. 2).

En effet, comme $f'$ et $g'$ gardent un signe constant dans un intervalle $]x_0, +\infty[$, $f$ et $g$ sont monotones dans cet intervalle, donc tendent vers une limite finie ou infinie lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Il est évident que $f$ et $g$ sont comparables lorsque $x$ tend vers $+\infty$, si une de ces limites est finie et $\neq 0$, ou si l’une est nulle et l’autre infinie. Si $f$ et $g$ tendent toutes deux vers 0, on peut écrire $f(x) = -\int_x^{+\infty} f'(t) dt, g(x) = -\int_x^{+\infty} g'(t) dt$; comme $f'$ et $g'$ sont comparables, il en est de même de $f$ et $g$ et la relation de comparaison entre $f$ et $g$ est la même que celle qui existe entre $f'$ et $g'$, d’après la prop. 6 (V, p. 20). De même, si $f$ et $g$ ont toutes deux un elimite infinie, on a $f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t) dt, g(x) = g(x_0) + \int_{x_0}^x g'(t) dt$; la prop. 6 (V, p. 20) montre de nouveau que $f$ et $g$ sont comparables et que la relation de comparaison entre $f$ et $g$ est la même que celle qui existe entre $f'$ et $g'$. Pour achever de démontrer la proposition, il reste à considérer le cas où $g$ tend vers $\pm \infty$ et $f$ vers une constante ; alors on ne peut avoir $f' \gg g'$, car on déduirait de la prop. 1 (V, p. 18) que l’intégrale $\int_{x_0}^\infty g'(t)\,dt$ serait convergente; comme $f'$ et $g'$ sont supposées comparables, on a nécessairement $f' \ll g'$.

En effet, comme $f^{(k)}$ et $g^{(k)}$ gardent un signe constant dans un intervalle $[x_0, +\infty[$, $f^{(k-1)}$ et $g^{(k-1)}$ sont monotones dans cet intervalle, donc gardent un signe constant au voisinage de $+\infty$; en outre, la prop. 7 de V, p. 22, montre que $f^{(k-1)}$ et $g^{(k-1)}$ sont comparables, donc le corollaire résulte de la prop. 7 appliquée par récurrence sur $k$.

1° Si $f$ est d’ordre fini $\mu \neq -1$ par rapport à $x$, on a

(1)

2° Si $f$ est d’ordre infini par rapport à $x$ et si $f/f'$ et $x$ sont comparables d’ordre 1, on a

(2)

On notera que l’hypothèse entraîne que $f(x)$ a un ordre déterminé par rapport à $x$ (V, p. 9).

§ 3

1° Si $f$ est d'ordre $\mu \neq 0$ par rapport à $x$, on a $\log |f| \sim \mu \log x$, donc, comme $\log |f|$ et $\log x$ sont comparables d'ordre 1, on a d'après la prop. 7 de V, p. 22, $f'/f \sim \mu/x$, ou $x f' \sim \mu f$. Si $\mu > -1$, on a $f(x) \gg x^{\mu-\varepsilon}$ pour tout $\varepsilon > 0$, donc (V, p. 19, prop. 2) l'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ est infinie. On peut écrire $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt = x f(x) - a f(a) - \int_a^x t f'(t)\,dt$, ou encore

comme $\mu \neq -1, f(x) + x f'(x) \sim (\mu + 1) f(x)$, donc (V, p. 20, prop. 6) ce qui démontre dans ce cas la relation (1). Si $\mu = 0$, on a de même $x f'(x) \ll f(x)$, ce qui donne encore $f(x) + x f'(x) \sim f(x)$. On raisonne de manière analogue lorsque $\mu < -1$, cas où $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ est convergente.

2° Si $f$ est d'ordre $+\infty$ par rapport à $x$, on a $\log |f| \gg \log x$, donc (V, p. 22, prop. 7) $f'/f \gg 1/x$, ou encore, en posant $g(x) = f(x)/f'(x)$, $g(x) \ll x$; en outre, comme $f(x) \gg x^\alpha$ pour tout $\alpha > 0$, l'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ est infinie. On peut écrire

comme $g$ et $x$ sont comparables d'ordre 1, de la relation $g(x) \ll x$ on déduit (V, p. 22, prop. 7) $g'(x) \ll 1$, donc $f g' \ll f$, et par suite (V, p. 20, prop. 6) ce qui établit la relation (2). Démonstration analogue lorsque $f$ est d'ordre $-\infty$ par rapport à $x$, cas où $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ est convergente.

Soit $\mathscr{E}$ une échelle de comparaison (pour $x$ réel tendant vers $+\infty$) formée de fonctions numériques non nulles et de signe constant au voisinage de $+\infty$, telle que $x \in \mathscr{E}$ et que le produit et le quotient de deux fonctions de $\mathscr{E}$ appartiennent encore à $\mathscr{E}$ (V, p. 11 et p. 14). Si une fonction réglée $f$ de signe constant au voisinage de $+\infty$ admet une partie principale $c g$ par rapport à $\mathscr{E}$, $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ (resp. $\int_a^x f(t) dt$ suivant le cas) sera équivalente à $c \int_a^{+\infty} g(t)\,dt$ (resp. $c \int_a^x g(t)\,dt$); si la fonction $g$ satisfait aux conditions de la prop. 8 de V, p. 23, et si (lorsque la formule (2) de V, p. 23, s'applique) on connaît une partie principale de $g'$ relativement à $\mathscr{E}$, on aura ainsi une partie principale de $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ (resp. $\int_a^x f(t)\,dt$) relativement à $\mathscr{E}$.